点和椭圆（旋转）位置测试：算法

Posted 2023-02-19

【中文标题】点和椭圆（旋转）位置测试：算法

【英文标题】：Point and ellipse (rotated) position test: algorithm

【发布时间】：2011-12-18 06:32:42

【问题描述】：

如何测试点 P = [xp,yp] 是否在中心 C=[x,y]、a、b 和 phi（旋转角度）给定的某个旋转椭圆的内部/外部？

此时我正在使用以下解决方案：将椭圆和点旋转角度 -phi，然后对点和“未旋转”椭圆的位置进行通用测试。

但是有很多测试点（数千个），我发现这个解决方案很慢。有没有直接更有效的方法来获取旋转椭圆和点的位置？

我不需要代码而是算法。感谢您的帮助。

【问题讨论】：

向我们展示您到目前为止所做的事情。我们可以为您提供帮助。

【参考方案1】：

Matplotlib 在 patch 类中有一个 Ellipse 方法，它允许您询问一个点是在补丁内部还是外部。检查here 并查找方法 contains_point()。您将需要使用 Ellipse 类创建椭圆，然后就好像里面有一个点。 顺便说一句，matplotlib 是 python 的一个包。

【参考方案2】：

您只需将数据输入上述公式即可。这是我根据 Ajasja 的建议所做的 python 实现：

def pointInEllipse(x,y,xp,yp,d,D,angle):
    #tests if a point[xp,yp] is within
    #boundaries defined by the ellipse
    #of center[x,y], diameter d D, and tilted at angle

    cosa=math.cos(angle)
    sina=math.sin(angle)
    dd=d/2*d/2
    DD=D/2*D/2

    a =math.pow(cosa*(xp-x)+sina*(yp-y),2)
    b =math.pow(sina*(xp-x)-cosa*(yp-y),2)
    ellipse=(a/dd)+(b/DD)

    if ellipse <= 1:
        return True
    else:
        return False

【讨论】：

不要使用math.pow(val, 2) 来解决问题。这真的很慢。 （将其分配给一个变量并自行相乘）。

math.sin 和 math.cos 期望它们的参数以弧度为单位，因此请确保以弧度传递角度。您可以使用math.radians 函数将度数转换为弧度。

【参考方案3】：

另一种选择是将所有内容都放入二维旋转椭圆的方程中，看看结果是否小于一个。

如果以下不等式为真，则点在椭圆内

其中 (xp,yp) 是点坐标，(x0, y0) 是椭圆的中心。

我实现了一个小型 Mathematica 程序，证明这确实有效：

它在行动：

这里是代码：

ellipse[x_, y_, a_, b_, \[Alpha]_, x0_: 0, y0_: 0] := 
     (((x - x0)*Cos[\[Alpha]] + (y - y0)*Sin[\[Alpha]])/a)^2
   + (((x - x0)*Sin[\[Alpha]] - (y - y0)*Cos[\[Alpha]])/b)^2;

Manipulate[
 RegionPlot[
  ellipse[x, y, a, b, \[Alpha] \[Degree], Sequence @@ pos] < 1, x, -5, 5, y, -5, 5, 
  PlotStyle -> If[ellipse[Sequence @@ p, a, b, \[Alpha] \[Degree], Sequence @@ pos] <= 1, Orange, LightBlue], 
  PlotPoints -> 25]
, a, 2, 1, 5, Appearance -> "Labeled"
, b, 4, 2, 5, Appearance -> "Labeled"
, \[Alpha], 0, 180,  Appearance -> "Labeled"
, p, 3, 1, Automatic, ControlType -> Locator
, pos, 0, 0, Automatic, ControlType -> Locator]

【参考方案4】：

这里是算法，我让你开发代码：

确定椭圆中心与您的点之间的向量 v1 确定矢量 v1 与世界坐标中 x 轴之间的角度 a1 从 a1 中减去 phi 得到 a2，即我们在局部坐标中的矢量角 在局部坐标中以角度 a2 确定椭圆上的点 P2，不偏移 (x, y) 计算 L1 和 L2，a1 和 a2 的向量长度

评价：

如果 L1 如果 L1 = L2（加/减一个小公差），则该点位于椭圆上 如果 L2 > L2 点在外面

椭圆参数公式：

x = a*cos(u) y = b*sin(u)

在 -pi 和 +pi 之间对 u 有效。将 phi 添加到 u 以旋转椭圆。

上面的算法可以通过椭圆方程进行简化和优化。

祝你好运！

【参考方案5】：

为了处理椭圆，我更喜欢将它们转换到另一个坐标系，其中椭圆是以原点为中心的单位圆。

如果您将椭圆视为单位圆（半径 1），按 (a,b) 缩放，按 phi 旋转并按 (x,y) 变换，那么生活会变得容易得多。 如果你有那个变换矩阵，你可以用它来做一个更简单的包含查询。如果您将点变换到椭圆为单位圆的坐标系中，那么您所要做的就是进行微不足道的单位圆测试。 如果“变换”是将单位圆变换为椭圆的矩阵，那么

transformedPoint = transform.Invert().Transform(point);
pointInEllipse = transformedPoint.DistanceTo(0,0) < 1.0;