如何使用 SSE 更有效地将 A*B^T 或 A^T*B^T（T 表示转置）矩阵相乘？
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【中文标题】如何使用 SSE 更有效地将 A*B^T 或 A^T*B^T（T 表示转置）矩阵相乘？【英文标题】：How do I more efficiently multiply A*B^T or A^T*B^T (T for transpose) matrices using SSE? 【发布时间】：2013-05-14 15:27:05 【问题描述】：我一直在用这个打败自己。我有一个基于 SSE 的算法，用于将矩阵 A 乘以矩阵 B。我还需要实现 A、B 或两者都被转置的操作。我做了一个简单的实现，下面表示的 4x4 矩阵代码（我认为这是非常标准的 SSE 操作），但 A*B^T 操作所需的时间大约是 A*B 的两倍。 ATLAS 实现为 A*B 返回相似的值，并且乘以转置的结果几乎相同，这表明有一种有效的方法可以做到这一点。
MM-乘法：
m1 = (mat1.m_>>2)<<2;
n2 = (mat2.n_>>2)<<2;
n = (mat1.n_>>2)<<2;
for (k=0; k<n; k+=4)
for (i=0; i<m1; i+=4)
// fetch: get 4x4 matrix from mat1
// row-major storage, so get 4 rows
Float* a0 = mat1.el_[i]+k;
Float* a1 = mat1.el_[i+1]+k;
Float* a2 = mat1.el_[i+2]+k;
Float* a3 = mat1.el_[i+3]+k;
for (j=0; j<n2; j+=4)
// fetch: get 4x4 matrix from mat2
// row-major storage, so get 4 rows
Float* b0 = mat2.el_[k]+j;
Float* b1 = mat2.el_[k+1]+j;
Float* b2 = mat2.el_[k+2]+j;
Float* b3 = mat2.el_[k+3]+j;
__m128 b0r = _mm_loadu_ps(b0);
__m128 b1r = _mm_loadu_ps(b1);
__m128 b2r = _mm_loadu_ps(b2);
__m128 b3r = _mm_loadu_ps(b3);
// first row of result += first row of mat1 * 4x4 of mat2
__m128 cX1 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a0+0), b0r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a0+1), b1r));
__m128 cX2 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a0+2), b2r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a0+3), b3r));
Float* c0 = this->el_[i]+j;
_mm_storeu_ps(c0, _mm_add_ps(_mm_add_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c0)));
// second row of result += second row of mat1 * 4x4 of mat2
__m128 cX1 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a1+0), b0r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a1+1), b1r));
__m128 cX2 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a1+2), b2r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a1+3), b3r));
Float* c1 = this->el_[i+1]+j;
_mm_storeu_ps(c1, _mm_add_ps(_mm_add_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c1)));
// third row of result += third row of mat1 * 4x4 of mat2
__m128 cX1 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a2+0), b0r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a2+1), b1r));
__m128 cX2 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a2+2), b2r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a2+3), b3r));
Float* c2 = this->el_[i+2]+j;
_mm_storeu_ps(c2, _mm_add_ps(_mm_add_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c2)));
// fourth row of result += fourth row of mat1 * 4x4 of mat2
__m128 cX1 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a3+0), b0r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a3+1), b1r));
__m128 cX2 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a3+2), b2r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a3+3), b3r));
Float* c3 = this->el_[i+3]+j;
_mm_storeu_ps(c3, _mm_add_ps(_mm_add_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c3)));
// Code omitted to handle remaining rows and columns
对于 MT 乘法（矩阵乘以转置矩阵），我使用以下命令将 b0r 存储到 b3r 并适当地更改循环变量：
__m128 b0r = _mm_set_ps(b3[0], b2[0], b1[0], b0[0]);
__m128 b1r = _mm_set_ps(b3[1], b2[1], b1[1], b0[1]);
__m128 b2r = _mm_set_ps(b3[2], b2[2], b1[2], b0[2]);
__m128 b3r = _mm_set_ps(b3[3], b2[3], b1[3], b0[3]);
我怀疑速度变慢的部分原因是一次拉入一行与每次必须存储 4 个值才能获取该列之间的差异，但我觉得这是另一种解决方法，拉入行B 的列，然后乘以 As 的列，只会将成本转移到存储 4 列结果。
我还尝试将 B 的行作为行拉入，然后使用 _MM_TRANSPOSE4_PS(b0r, b1r, b2r, b3r); 进行转置（我认为该宏中可能有一些额外的优化），但没有真正的改进。
从表面上看，我觉得这应该更快......所涉及的点积将是一行接一行，这似乎本质上更有效，但试图直接做点积只会导致不得不做存储结果也是一样的。
我在这里错过了什么？
补充：为了澄清，我试图不转置矩阵。我更愿意沿着它们进行迭代。据我所知，问题在于 _mm_set_ps 命令比 _mm_load_ps 慢得多。
我还尝试了一种变体，我存储了 A 矩阵的 4 行，然后用 4 个乘法指令和 3 个hadds 替换了包含 1 个加载、4 个乘法和 2 个加法的 4 个大括号段，但很少利用。时间保持不变（是的，我尝试使用调试语句来验证代码在我的测试编译中是否发生了更改。当然，在分析之前删除了该调试语句）：
// first row of result += first row of mat1 * 4x4 of mat2
__m128 cX1 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a0r, b0r), _mm_mul_ps(a0r, b1r));
__m128 cX2 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a0r, b2r), _mm_mul_ps(a0r, b3r));
Float* c0 = this->el_[i]+j;
_mm_storeu_ps(c0, _mm_add_ps(_mm_hadd_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c0)));
// second row of result += second row of mat1 * 4x4 of mat2
__m128 cX1 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a1r, b0r), _mm_mul_ps(a1r, b1r));
__m128 cX2 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a1r, b2r), _mm_mul_ps(a1r, b3r));
Float* c0 = this->el_[i+1]+j;
_mm_storeu_ps(c0, _mm_add_ps(_mm_hadd_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c0)));
// third row of result += third row of mat1 * 4x4 of mat2
__m128 cX1 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a2r, b0r), _mm_mul_ps(a2r, b1r));
__m128 cX2 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a2r, b2r), _mm_mul_ps(a2r, b3r));
Float* c0 = this->el_[i+2]+j;
_mm_storeu_ps(c0, _mm_add_ps(_mm_hadd_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c0)));
// fourth row of result += fourth row of mat1 * 4x4 of mat2
__m128 cX1 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a3r, b0r), _mm_mul_ps(a3r, b1r));
__m128 cX2 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a3r, b2r), _mm_mul_ps(a3r, b3r));
Float* c0 = this->el_[i+3]+j;
_mm_storeu_ps(c0, _mm_add_ps(_mm_hadd_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c0)));
更新：
对，将a0r 的行加载到a3r 移动到花括号中，以避免寄存器抖动也失败了。
【问题讨论】：
您是否意识到您不需要真正转置矩阵而只需以不同的方式访问它？ 看起来您实际上是在转置矩阵？当然会慢一些。 实际上，我正在尝试通过以不同顺序访问项目来就地进行操作。我尝试了就地转置并得到了大致相同的时间。 不要使用 hadd 指令。坚持垂直添加。 实际上，我认为我错了。看我的回答。 【参考方案1】：我认为这是水平添加有用的少数情况。您想要 C = AB^T 但 B 没有作为转置存储在内存中。那就是问题所在。它的存储类似于 AoS 而不是 SoA。在这种情况下，我认为采用 B 的转置并进行垂直添加比使用水平添加要慢。至少对于矩阵向量Efficient 4x4 matrix vector multiplication with SSE: horizontal add and dot product - what's the point? 是这样。在下面的代码中，函数m4x4 是非 SSE 4x4 矩阵乘积，m4x4_vec 使用 SSE，
m4x4T 在没有 SSE 的情况下执行 C=AB^T，而 m4x4T_vec 执行 C=AB^T 使用 SSE。最后一个是我认为你想要的那个。
注意：对于较大的矩阵，我不会使用此方法。在这种情况下，首先进行转置并使用垂直添加会更快（使用 SSE/AVX，您会做一些更复杂的事情，您可以使用 SSE/AVX 宽度转置条带）。这是因为转置为 O(n^2)，矩阵乘积为 O(n^3)，因此对于大型矩阵，转置无关紧要。但是，对于 4x4，转置非常重要，因此水平相加胜出。
编辑： 我误解了你想要什么。你想要 C = (AB)^T。这应该和 (AB) 一样快，并且代码几乎相同，您基本上只需交换 A 和 B 的角色。 我们可以这样写数学：
C = A*B in Einstein notation is C_i,j = A_i,k * B_k,j.
Since (A*B)^T = B^T*A^T we can write
C = (A*B)^T in Einstein notation is C_i,j = B^T_i,k * A^T_k,j = A_j,k * B_k,i
如果你比较这两者，唯一的变化是我们交换了 j 和 i 的角色。我在这个答案的末尾放了一些代码来做到这一点。
#include "stdio.h"
#include <nmmintrin.h>
void m4x4(const float *A, const float *B, float *C)
for(int i=0; i<4; i++)
for(int j=0; j<4; j++)
float sum = 0.0f;
for(int k=0; k<4; k++)
sum += A[i*4+k]*B[k*4+j];
C[i*4 + j] = sum;
void m4x4T(const float *A, const float *B, float *C)
for(int i=0; i<4; i++)
for(int j=0; j<4; j++)
float sum = 0.0f;
for(int k=0; k<4; k++)
sum += A[i*4+k]*B[j*4+k];
C[i*4 + j] = sum;
void m4x4_vec(const float *A, const float *B, float *C)
__m128 Brow[4], Mrow[4];
for(int i=0; i<4; i++)
Brow[i] = _mm_load_ps(&B[4*i]);
for(int i=0; i<4; i++)
Mrow[i] = _mm_set1_ps(0.0f);
for(int j=0; j<4; j++)
__m128 a = _mm_set1_ps(A[4*i +j]);
Mrow[i] = _mm_add_ps(Mrow[i], _mm_mul_ps(a, Brow[j]));
for(int i=0; i<4; i++)
_mm_store_ps(&C[4*i], Mrow[i]);
void m4x4T_vec(const float *A, const float *B, float *C)
__m128 Arow[4], Brow[4], Mrow[4];
for(int i=0; i<4; i++)
Arow[i] = _mm_load_ps(&A[4*i]);
Brow[i] = _mm_load_ps(&B[4*i]);
for(int i=0; i<4; i++)
__m128 prod[4];
for(int j=0; j<4; j++)
prod[j] = _mm_mul_ps(Arow[i], Brow[j]);
Mrow[i] = _mm_hadd_ps(_mm_hadd_ps(prod[0], prod[1]), _mm_hadd_ps(prod[2], prod[3]));
for(int i=0; i<4; i++)
_mm_store_ps(&C[4*i], Mrow[i]);
float compare_4x4(const float* A, const float*B)
float diff = 0.0f;
for(int i=0; i<4; i++)
for(int j=0; j<4; j++)
diff += A[i*4 +j] - B[i*4+j];
printf("A %f, B %f\n", A[i*4 +j], B[i*4 +j]);
return diff;
int main()
float *A = (float*)_mm_malloc(sizeof(float)*16,16);
float *B = (float*)_mm_malloc(sizeof(float)*16,16);
float *C1 = (float*)_mm_malloc(sizeof(float)*16,16);
float *C2 = (float*)_mm_malloc(sizeof(float)*16,16);
for(int i=0; i<4; i++)
for(int j=0; j<4; j++)
A[i*4 +j] = i*4+j;
B[i*4 +j] = i*4+j;
C1[i*4 +j] = 0.0f;
C2[i*4 +j] = 0.0f;
m4x4T(A, B, C1);
m4x4T_vec(A, B, C2);
printf("compare %f\n", compare_4x4(C1,C2));
编辑：
这是执行 C = (AB)^T 的标量和 SSE 函数。它们应该和它们的 AB 版本一样快。
void m4x4TT(const float *A, const float *B, float *C)
for(int i=0; i<4; i++)
for(int j=0; j<4; j++)
float sum = 0.0f;
for(int k=0; k<4; k++)
sum += A[j*4+k]*B[k*4+i];
C[i*4 + j] = sum;
void m4x4TT_vec(const float *A, const float *B, float *C)
__m128 Arow[4], Crow[4];
for(int i=0; i<4; i++)
Arow[i] = _mm_load_ps(&A[4*i]);
for(int i=0; i<4; i++)
Crow[i] = _mm_set1_ps(0.0f);
for(int j=0; j<4; j++)
__m128 a = _mm_set1_ps(B[4*i +j]);
Crow[i] = _mm_add_ps(Crow[i], _mm_mul_ps(a, Arow[j]));
for(int i=0; i<4; i++)
_mm_store_ps(&C[4*i], Crow[i]);
【讨论】：
我目前正在探索进行转置。我的方法是遍历 4x4 矩阵，拉入 4 行，使用_MM_TRANSPOSE4_PS 转置它们，然后将它们存储在转置位置，然后处理外围行，然后处理单个值（很像乘法算法我上面用过）。感谢您提供示例代码。
太棒了！请让我知道你发现了什么。我的猜测是，使用 _MM_TRANSPOSE4_PS（它会做一堆洗牌）和垂直添加会比只使用 hadd 慢，但我可能是错的。
顺便说一句，我没有尝试对上面的代码进行进一步优化，例如循环展开，如果有帮助，我不会感到惊讶。
首先进行转置确实可以将速度提高到大致相同的值！即使我将调用替换为对 mulMM 的调用（！），仍然会追踪一些奇怪的东西，其中转置乘以转置需要更长的时间，但这是肯定的进步。谢谢。
我想我误解了你的意思。你写了 AB^T。所以我以为你的意思是 B 的转置。但你真的是说 (AB)^T 吗？在这种情况下，我认为您可以使用垂直添加而不进行任何转置，因此它应该与 A*B 一样快。【参考方案2】：
一些可能有帮助的建议：
不要使用未对齐的内存（那些 _mm_loadu* 很慢）。 您没有按顺序访问内存，这会杀死缓存。在实际访问该内存之前尝试转置矩阵，这将使 CPU 尽可能多地获取和使用缓存。这样就不需要下面的__m128 b0r = _mm_set_ps(b3[0], b2[0], b1[0], b0[0]); // and b1r, etc..。这个想法是按顺序获取整个 4 个组件。如果您需要在调用 SSE 代码之前重新组织内存，请这样做。
您正在内部循环中加载：_mm_load_ps1(a0+0) （对于 a1、a2 和 a3 相同），但对于内部循环中的所有迭代都是恒定的。您可以将这些值加载到外部并节省一些周期。密切关注您可以从以前的迭代中重复使用的内容。
个人资料。使用 Intel VTune 或类似的东西，它会告诉你瓶颈在哪里。
【讨论】：
一个迂腐的观点。 _mm_loadu_ps 内在函数只在未对齐的内存上很慢。如果你在对齐的内存上使用它，它基本上和 _mm_load_ps 一样快。 由于我是内存对齐的新手，在我进入并尝试更改现有代码之前，像这样对齐值如何影响内存消耗？ 不确定你的意思，但是 SSE 代码要求数据是 16 字节对齐的，否则 CPU 需要花费更多的周期来修复解析内存地址。只是将矩阵分配为 16 个字节对齐的问题。 我误解了情况。长话短说，我认为这是留下空白，因为我为相同的花车写了错误的数字。以上是关于如何使用 SSE 更有效地将 A*B^T 或 A^T*B^T（T 表示转置）矩阵相乘？的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章