为啥归一化数的最高位总是 1？

Posted 2023-04-14

【中文标题】为啥归一化数的最高位总是 1？

【英文标题】：Why the most significant bit for a normalized number is always 1?为什么归一化数的最高位总是 1？

【发布时间】：2012-08-20 13:36:44

【问题描述】：

来自Significand entry in Wikipedia：

在二进制中工作时，有效数字的特征在于它的宽度 二进制数字（位）。因为最高有效位始终为 1 对于归一化数，该位通常不存储，而是 称为“隐藏位”。根据上下文，隐藏位可能 或者可能不计入有效数字的宽度。为了 例如，相同的 IEEE 754 双精度格式通常是 描述为具有 53 位有效数字，包括隐藏 位或 52 位有效数，不包括隐藏位。观念 隐藏位只适用于二进制表示。 IEEE 754 将精度 p 定义为 有效数，包括任何隐含的前导位（例如精度、p、 双精度格式为 53)。

为什么标准化数字的最高有效位始终为 1？有人可以举个例子吗？

【参考方案1】：

二进制中唯一的数字是 0 和 1，前导零不重要（例如 1101 与 00001101 相同，多余的零不添加任何内容）。因此，最重要的数字必须是 1，因为这是唯一的另一种可能性。

由于您知道最高有效位必须为 1，因此您可以省略它而不会丢失任何信息。这很有用，因为它可以让您获得额外的精度。

这个例外是数字 0，但这是通过将偏置指数设置为 0 以浮点数处理的（以及其他特殊情况，如 NaN 和 +/- 无穷大）。

【讨论】：

谢谢！很好的解释。

【参考方案2】：

这并不完全正确，对于 0、NaN、Infinity 和非正规值等特殊值没有前导 1。

但是，是的，当它是一个“正常”的数字时，您可以随时重写它，使尾数从 1 开始。只需增加指数即可。等价物也存在于十进制中，如果值不为零，您始终可以编写一个数字，以便它以单个非零数字开头：

  0.5 = 5.0 E-01
  0.05 = 5.0 E-02
  50 = 5.0 E+01
  500 = 5.0 E+02
  etcetera.

区别在于这个单个数字在二进制中是 1。所以它不必存储，可以推断。这会增加一点精度。足以使浮点处理器逻辑复杂化以恢复计算中的 1。

【参考方案3】：

前导零在数字的任何表示中都不携带有用信息，因此不需要存储它们。因此，在二进制表示中，最左边的有效数字始终是1，也不需要存储，可以假定它存在。