结合具有不同枢轴点的四元数

Posted 2023-04-12

【中文标题】结合具有不同枢轴点的四元数

【英文标题】：Combining quaternions with different pivot point

【发布时间】：2012-10-17 07:26:37

【问题描述】：

背景：

我目前正在 GLSL 中实现骨骼动画着色器，为了节省空间和复杂性，我使用四元数进行骨骼旋转，使用加权四元数乘法（每个骨骼）为每个顶点累积“最终旋转”。

类似于：（伪代码，假设四元数数学按预期工作）

  float weights[5];
  int bones[5];
  vec4 position;

  uniform quaternion allBoneRotations[100];
  uniform vec3 allBonePositions[100];

  main()
  quaternion finalQuaternion;
  for(i=0;i<5;i++)finalQuaternion *= allBoneRotations[bones[i]]*weights[i];
  gl_position = position.rotateByQuaternion(finalQuaternion);
  

真正的代码很复杂，草率，并且按预期工作，但这应该给出一般的想法，因为无论如何这主要是一个数学问题，代码没有太大的影响，它只是为了清楚起见而提供。

问题：

当我意识到“最终四元数”不会占用组合四元数本身时要考虑不同的枢轴点。在这种情况下，每个骨骼旋转都将被视为围绕点 (0,0,0)。

鉴于四元数仅代表一个旋转，看来我需要向四元数“添加”一个位置（如果可能），或者简单地将所有四元数转换为矩阵，然后进行矩阵乘法以组合系列的平移和旋转。我真的希望后者不是必需的，因为它看起来效率相对较低。

我搜索了 mathoverflow、math.stackexchange 以及 Google 提供的任何其他内容，并阅读了以下资源，希望自己能找到答案：

http://shankel.best.vwh.net/QuatRot.html

http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html

加上通过谷歌搜索发现的各种其他小讨论（我只能发布 2 个链接）

共识是四元数不编码任何意义上的“平移”或“位置”，并且似乎没有提供一种直观的方式来模拟它，因此纯四元数数学似乎不太可能成为一个可行的解决方案。

但是，在这里有一个明确的答案可能会很好。有谁知道“伪造”四元数的位置分量的任何方法，以某种方式保持四元数数学效率，或其他一些方法来“累积”围绕不同原点的旋转，这比仅仅计算矩阵更有效四元数，并为每个四元数做矩阵平移和旋转乘法？或者也许是一些数学保证，即不同的枢轴点实际上没有任何区别，实际上可以在以后应用（但我对此表示怀疑）。

或者说在这种情况下使用四元数只是表面上的一个坏主意？

【问题讨论】：

粗略浏览您的问题后，我想到的第一个（也可能是最好的）答案是：使用双四元数！。它们易于使用（一旦您掌握了概念），易于转换为刚体矩阵/从刚体矩阵转换，并且在性能上与矩阵相似（如果使用得当，请勿在着色器内进行矩阵转换）。在谷歌上搜索“双四元数蒙皮” 应该会引导您访问 Ladislav Kavan 的网站和论文，其中非常详尽地描述了它们的用法。

非常感谢！经过几个小时的搜索，我最终也发现了双四元数，但没有注意到 Ladislav Kavan 网站。不过，这似乎非常有帮助，谢谢！

【参考方案1】：

确实，四元数不存在位置分量，因此您需要单独跟踪它。假设个别转换最终是这样的

x' = R(q)*(x-pivot)+pivot = R(q)*x + (pivot-R(q)*pivot) = R(q)*x+p,

q 是你的四元数，R(q) 是由它构建的旋转矩阵，p=pivot-R(q)*pivot 是位置/平移组件。如果你想组合两个这样的变换，你可以不用全矩阵乘法：

x'' = R(q2)*x'+p2 = R(q2)*R(q)*x + (R(q2)*p+p2) = R(q2*q)*x + (R(q2)*p+p2).

这样组合的四元数将为q2*q，组合的位置为R(q2)*p+p2。请注意，如果您想绝对避免使用四元数，甚至可以将四元数应用于向量（R(q2)*p 等）而无需显式构建旋转矩阵。

也就是说，还有一个“双四元数”的概念，事实上，它确实包含一个平移分量，并且可能更适合表示螺旋运动。查看on Wiki 和here（最后一个链接也指向一篇论文）。

【参考方案2】：

经过广泛的额外搜索，以及比任何理智的人都阅读更多关于四元数的内容，我终于在这里找到了答案：

http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/other/dualQuaternion/index.htm

事实证明，对偶四元数的操作类似于实际四元数，其中许多数学运算都基于常规四元数数学，但它们同时提供方向和位移，并且可以组合用于所需的任何旋转平移序列，非常多类似于变换矩阵乘法，但没有剪切/缩放能力。

该页面还有一个部分，该部分通过使用双四元数乘法精确地导出了我需要的“围绕任意点旋转”功能。或许我应该在问之前多研究一下，但至少现在答案就在这里，以防其他人来找。