找到唯一二进制向量数量的有效解决方案

Posted 2023-03-31

【中文标题】找到唯一二进制向量数量的有效解决方案

【英文标题】：Efficient solution to find the number of unique binary vectors

【发布时间】：2017-03-14 20:52:25

【问题描述】：

假设你有一个长度为 N 的二进制向量（每个元素可以是 0、1 或 X，分别对应 0 或 1）。

例如，给定 N = 4：

1001 是单个二进制向量 1XX1表示四个不同的二元向量1001, 1011, 1101, 1111

现在假设您有三种不同的描述，例如

X11X 1XX1 11XX

找到这组规范描述的唯一二进制向量的数量的有效解决方案是什么？

请注意，当 N 增长时，蛮力解决方案变得不切实际，因此列出每个可能的向量并删除重复项不是可行的解决方案。另请注意，我们只想知道唯一向量的数量，而不需要计算它们的确切值。

使用此示例的解决方案进行编辑：

X11X --> 0110 0111 1110 1111

1XX1 --> 1001 1011 1101 1111

11XX --> 1100 1101 1110 1111

在这 12 个向量中，我们只想计算唯一的，例如 8 个。

0110 0111 1110 1111 1001 1011 1101 1100

【问题讨论】：

您希望这组描述的数字是多少？您想单独计算它们，然后将它们的结果相加吗？

在上面的例子中，每个规范描述了 4 个不同的向量，所以它们总共有 12 个向量。但是它们之间会有重复。我只想计算一组规范生成的唯一向量的数量（如果我手动正确计算，它们应该是 8 个唯一向量）

N 可以有多大？

N 没有明确的限制，可以任意大。

"它可以像你想要的那么大" 我们在这里处理一个#P-complete 问题（比 NP 更糟糕；我们得到一个计数，而不是仅仅存在/不存在解决方案）。除非您想在文献中搜索复杂的算法，否则您应该更加具体。

【参考方案1】：

我会使用inclusion-exclusion principle。您想知道集合并集的基数。对于您的示例，您有：

N(X11X || 1XX1 || 11XX) = N(X11X) + N(1XX1) + N(11XX) - 
                          N(X11X && 1XX1) - N(X11X && 11XX) - N(1XX1 && 11XX) +
                          N(X11X && 1XX1 && 11XX)

“单个”元素的基数很容易计算（2^Nx，其中 Nx 是 X 元素的数量）。对于交集，您逐个元素进行比较。如果它们与 X 不同并且彼此不同，则为零。如果两者相等，则为 1。如果有 X 和数字，则为 1。如果你有 X 和 X 你有两个。然后你将这些数字相乘。一个例子：

N(X11X && 1XX1) = 1 * 1 * 1 * 1 = 1.

对应唯一的公共序列（1111）。这可以很容易地推广到任何 N 并且应该不难用任何语言实现。

【讨论】：

如果你有X和X，你应该有2，为什么是4？

@ad3angel1s 哦，当然，你是对的，要编辑。谢谢。

只是为了确认，应用您的解决方案并将 2 用于 X 和 X，我得到了测试集的预期解决方案：12 - (1*1*1*1) - (1*1* 2*1) - (1*1*1*2) + (1*1*1*1) = 8

【参考方案2】：

如果模式的数量很少，那么您可以使用包含-排除类型的方法来解决这个问题。

每个单独模式的二进制向量的数量很容易计算：它只是 2 的适当幂。现在，模式的总数只是每个单独的模式的二进制向量的总和，减去二进制的数量每对模式的公共解决方案的向量，加上每个三元组的公共解决方案数量的总和，等等。

一组模式的公共解决方案同样是单个模式的解决方案：如果在某个位置，一个模式有 0 而另一个有 1，那么就没有公共解决方案。否则，如果其中一个模式在该位置有 0 或 1，我们通过在某个位置放置 0 或 1 来获得模式，如果所有模式在该位置都有 X，则通过 X 来获得。