使用“N”个节点，可能有多少种不同的二叉搜索树和二叉搜索树？

Posted 2023-03-31

【中文标题】使用“N”个节点，可能有多少种不同的二叉搜索树和二叉搜索树？

【英文标题】：With ' N ' no of nodes, how many different Binary and Binary Search Trees possible?

【发布时间】：2010-06-15 03:51:08

【问题描述】：

对于二叉树：无需考虑树节点值，我只对具有“N”个节点的不同树拓扑感兴趣。

对于二叉搜索树：我们必须考虑树节点值。

【参考方案1】：

二叉树总数 =

对 i 求和得出具有 n 个节点的二叉搜索树的总数。

基本情况是 t(0) = 1 和 t(1) = 1，即有一个空的 BST 和一个有一个节点的 BST。

因此，通常您可以使用上述公式计算二叉搜索树的总数。 我在 Google 采访中被问到一个与此公式相关的问题。 问题是有多少个二叉搜索树可能有 6 个顶点。 所以答案是 t(6) = 132

我想我给了你一些想法......

【讨论】：

请注意，1 和 2 实际上是表示同一公式的不同方式，而不是不同数量的公式，以防不清楚。

@Black_Rider - 我尝试了上面的公式来计算编号。 100 个唯一节点的可能树。但它失败了。我用DP解决了这个问题。您可以找到代码here。答案是错误的。预期的答案是 25666077，但实际输出是 7159379471982673992。你能帮我解决这个问题吗？

如果一些树有相同的键怎么办？例如对于树 1、1、2、2，不可能将相似的键压缩到一个顶点

【参考方案2】：

二叉树的数量可以使用catalan number来计算。

二叉搜索树的数量可以看作是一种递归解决方案。 即二叉搜索树的数量=（Left二叉搜索子树的数量）*（Right二叉搜索子树的数量）*（选择根的方式)

在 BST 中，只有元素之间的相对顺序很重要。因此，在不失一般性的情况下，我们可以假设树中的不同元素是 1, 2, 3, 4, ...., n。另外，让 BST 的数量由 f(n) for n 个元素表示。

现在我们有了选择根的多种情况。

选择1作为根，no元素可以插入左侧子树。 n-1 个元素将被插入到右侧子树中。 选择2作为根，1元素可以插入左侧子树。 n-2 个元素可以插入到右子树中。 选择3作为根，2元素可以插入左侧子树。 n-3 个元素可以插入到右子树中。

……同理，以i-th元素为根，i-1元素可以在左边和ni em> 在右边。

这些子树本身就是BST，因此，我们可以将公式总结为：

f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + .......... + f(n -1)f(0)

基本情况， f(0) = 1，因为只有 1 种方法可以制作具有 0 个节点的 BST。 f(1) = 1，因为只有 1 种方法可以制作具有 1 个节点的 BST。

【参考方案3】：

我向我的同事 Nick Parlante 推荐 this article（当时他还在斯坦福大学）。结构不同的二叉树的计数（问题 12）有一个简单的递归解决方案（封闭形式最终是 @codeka 的答案已经提到的加泰罗尼亚公式）。

我不确定结构不同的二叉 搜索 树（简称 BST）的数量与“普通”二叉树的数量有何不同——除了，如果“考虑树节点值”你的意思是每个节点可能是例如任何与 BST 条件兼容的数字，则不同（但并非所有结构上不同！-）BST 的数量是无限的。我怀疑你的意思，所以，请用一个例子说明你做的意思！

【讨论】：

此处提供的解决方案cslibrary.stanford.edu/110/BinaryTrees.html # 12 与按加泰罗尼亚数计算提供的解决方案不匹配。也就是说 countTrees(4) 应该是 5 而不是 14，对吧？但它返回 14。（这是系列 1、1、2、5、14、42、132）

countTrees(4) 是系列中的第 5 个元素，因为系列从 0 开始，这就是它返回的内容：14

我会推荐印度理工学院 Ropar youtube.com/watch?v=BLG9E_PoXXc&feature=emb_logo 的加泰罗尼亚数字图形教程。

【参考方案4】：

如果没有。节点数为 N 则。

不同的BST编号=加泰罗尼亚语(N) 结构不同的二叉树的不同编号为 = Catalan(N)

不同的二叉树数为=N!*Catalan(N)

【参考方案5】：

Eric Lippert 最近发表了一系列非常深入的博客文章：“Every Binary Tree There Is”和“Every Tree There Is”（之后还有更多）。

在回答您的具体问题时，他说：

具有 n 个节点的二叉树的数量由 Catalan numbers 给出，它具有许多有趣的属性。第 n 个加泰罗尼亚数由公式 (2n) 确定！ / (n+1)!n!，呈指数增长。

【讨论】：

第 n 个加泰罗尼亚数公式 (2n)! / (n+1)!n! 呈指数增长。我们如何为n > 11 编写算法来解决这个问题？

【参考方案6】：

具有n个节点的不同二叉树：

(1/(n+1))*(2nCn)

其中 C=combination 例如。

n=6,
possible binary trees=(1/7)*(12C6)=132

【参考方案7】：

(2n)!/n!*(n+1)!

【参考方案8】：

The number of possible binary search tree with n nodes (elements,items) is

=(2n C n) / (n+1) = ( factorial (2n) / factorial (n) * factorial (2n - n) ) / ( n + 1 ) 

where 'n' is number of nodes  (elements,items ) 

Example :

for 
n=1 BST=1,
n=2 BST 2,
n=3 BST=5,
n=4 BST=14 etc

【参考方案9】：

对于未标记的节点，正确答案应为 2nCn/(n+1)，如果节点已标记，则为 (2nCn)*n!/(n+1) >.

【讨论】：

你能解释一下第一个公式中的2nCn和(n+1)吗？

【参考方案10】：

二叉树：

不需要考虑值，我们需要看结构。

由 (2 power n) - n 给出

例如：对于三个节点，它是 (2 power 3) -3 = 8-3 = 5 个不同的结构

二叉搜索树：

我们甚至需要考虑节点值。我们称之为加泰罗尼亚数字

由 2n C n / n+1 给出

【参考方案11】：

具有 n 个不同键的可能二叉搜索树的总数 = 2nCn / (n + 1)

For n = 1  --> 1 Binary Search Tree is possible.
For n = 2  --> 2 Binary Search Trees are possible.
For n = 3  --> 5 Binary Search Trees are possible.
For n = 4  --> 14 Binary Search Trees are possible.
For n = 5  --> 42 Binary Search Trees are possible.
For n = 6  --> 132 Binary Search Trees are possible.```

并且具有 n 个不同键的可能二叉树的总数 = (2nCn / (n + 1)) * n!

For n = 4 --> 336 Binary Search Trees are possible.