在无向图中如何定义祖先和后代？

Posted 2023-03-29

【中文标题】在无向图中如何定义祖先和后代？

【英文标题】：How are ancestors and descendants defined in an undirected graph?

【发布时间】：2021-08-12 16:56:26

【问题描述】：

我找到了一个祖先的this definition 和一个后代的this definition。 它们看起来很有意义，但不幸的是只适用于有根的树。

我还找到了一个非正式的definition for DAGs。

但是，我感兴趣的是无向图的祖先和后代的正式定义。

【参考方案1】：

将图形拆分为 1 个或多个连通分量。 在每个组件中选择任意一个节点作为根。 生成从根到其他顶点的最短路径。 节点的祖先是从根开始的路径上的前一个节点 节点后代是从根开始在其路径上继承它的顶点。

我无法想象这个概念会产生什么非常有用的东西，但它确实存在。问题是根的任意选择。

【讨论】：

嗨@ravenspoint！这是一个非常有趣的定义！你从哪里弄来的？

我将其开发为有向图和树中祖先/后代概念的直接扩展。

【参考方案2】：

在无向图中，您没有祖先或后代。 由于边没有方向，因此您无法区分某个节点“之前”（祖先）和“之后”（后代）的节点。

让我们比较有向图和无向图。 这是一个有向无环图（有向图的一种特殊类型）

在这个有向图中，边有一个方向。由于它是一个 DAG，因此这些方向会引发排序。换句话说，边缘允许您说“某个节点出现在另一个节点之前”。例如，节点 B 在节点 A 之后，因为有一条边从 A 指向 B。同样你可以说 A 在节点 D 之前，因为 B 在 D 之前，A 在 B 之前。这相当于说 A是 B 和 D 的祖先。反过来说，D 是 A（也是 B）的后代。

这是去掉了方向的相同结构，即无向图。

正如您在此图中看到的那样，边没有方向。因为没有方向，所以无法说“节点 X 在节点 Y 之前”。虽然您可以说节点 A 在 B 之前，但您也可以说节点 B 在节点 A 之前。边不会产生顺序，因为它们没有方向。

正如其他答案所述，您可以在无向图中定义顺序。例如，选择某个节点，例如 D，然后在为您访问的边缘分配方向的同时行走。但是，这只是因为您开始为边缘分配方向。这不在图表本身中。

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但是，在无向图中，您拥有的是 connected components。 一个连通分量包含图中通过路径连接的所有节点。 在上面的无向图中，(A, B, C, D, E) 是一个连通分量，(F, G) 是另一个。

【讨论】：

嗨@cherrywoods！为什么无法在无向图上定义这些概念？

我更新了答案，但这个问题对于无向图来说非常重要。顾名思义，在无向图中没有方向。祖先和后代需要方向，因为它们需要有意义地定义“之前”和“之后”的概念。

【参考方案3】：

我发现了一个有趣的post，它从不同的角度揭示了问题。

引用： “我们可以将无向图视为等效于在节点之间具有双向边的有向图。 当我们追踪一个节点的所有祖先时，我们会沿着路径递归地收集到该节点的节点。如果我们继续递归地收集无向图的双向表示中的节点，那么我们最终将收集图中连接组件中的所有节点，这些节点连接到我们要求祖先的节点。同样的论点也适用于后代。”

考虑到这一点，我们可以确定：

“

祖先

：在图 G 中具有通往节点的路径的所有节点。” “

后代

：从图 G 中的节点具有路径的所有节点。”

【讨论】：

请注意，这里的祖先和后代的概念折叠为一个概念，即连接节点的概念。祖先和后代的集合总是与上面的定义相等。