排序矩阵搜索主定理分析

Posted 2023-03-27

【中文标题】排序矩阵搜索主定理分析

【英文标题】：sorted matrix search master theorem analysis

【发布时间】：2013-01-27 09:36:19

【问题描述】：

所以问题是要找出 x 是否在按行和按列升序的排序矩阵的元素之一中。

示例：

1 2 3

4 5 6

7 8 9

我有兴趣找出这个问题的分而治之解决方案的时间复杂度。我用谷歌搜索了它，但我只找到了 O(m+n) 解决方案，也来自这个Search a sorted 2D matrix。但他说（对答案发表评论）“T(R) = 3T(R/4)”，为什么 f(R) = 0？

问题是使用主定理的分而治之解决方案的复杂性是什么？ 在 T(R) = 3T(R/4) + f(R) 中，f(R) 应该是多少？

如果有帮助，这是我的分而治之的解决方案：

bool find_x_in_matrix(int x, int mat[3][3], int top_row, int top_col, int bot_row, int bot_col) 
if(top_row > bot_row || top_col > bot_col)
    return false;

int mid_row = (bot_row + top_row) / 2;
int mid_col = (bot_col + top_col) / 2;

if(mat[mid_row][mid_col] == x)
    return true;
else if(mat[mid_row][mid_col] > x) 
    return find_x_in_matrix(x, mat, top_row, mid_col, mid_row - 1, bot_col) ||
        find_x_in_matrix(x, mat, top_row, top_col, mid_row-1, mid_col-1) || 
        find_x_in_matrix(x, mat, mid_row, top_col, bot_row, mid_col-1);
else if(mat[mid_row][mid_col] < x) 
    return find_x_in_matrix(x, mat, top_row, mid_col + 1, mid_row, bot_col) || 
        find_x_in_matrix(x, mat, mid_row + 1, top_col, bot_row, mid_col) || 
        find_x_in_matrix(x, mat, mid_row + 1, mid_col + 1, bot_row, bot_col);       

编辑以澄清解决方案：

算法： 1.将矩阵的中间元素与搜索值进行比较 2. 如果值等于 m(i,j) 返回 true 3.如果值较小，则在矩阵的右上角，左上角，左下角搜索值 4.如果值较大，则在矩阵的右上角，右下角，左下角搜索值

【问题讨论】：

什么是top_row、top_col等。你能给出伪代码而不是实际代码吗..谢谢

@SajitKunnumkal ，我已经编辑了我的问题。进一步澄清我的解决方案。 top_row 是要检查值 x 的矩阵最顶层行的索引，top_col 等也是如此

f(n) 是合并片段的成本。 T(R) 不应该是 T(n) 吗？

@thang by T(R) 这意味着 R = mxn（m 是最大行，n 是最大列），我已经将 f(n) 更改为 f(R) 跨度>

【参考方案1】：

递归关系

T(R) = 3T(R/4) + c

很清楚，因为在每一步中，您都会丢弃 1/4 的搜索空间并查看 1/4 空间的其余部分 3 次。

根据维基， f (n) 是在递归调用之外完成的工作的成本，包括划分问题的成本和合并子问题的解决方案的成本。

我认为这只是一个常数。 f(n) 可能不为零，但它绝对是一个常数值，不依赖于搜索空间。

编辑：

我不确定如何使用主定理，但如果我们展开递归关系 我们得到

 T(n) = 3^2* T(n/(4^2)) + c(1 + 3)

继续，T(n) = 3^k * T(n/4^k) + c(3^0 + 3^1 ... + 3^(k-1))

这是我卡住的地方..我们可以减少 RHS 吗？忘记了我的高中数学。

不过，我会得到纠正。

【讨论】：

上述使用主定理的解决方案的时间复杂度应该是多少？因为这是主要问题。还是谢谢

真的是 您正在丢弃 1/4 的搜索空间并查看其余 3/4 的空间吗？我认为这更像是您正在查看 1/4 的搜索空间 3 次。

也许，但不一定……你无法从等式中看出这一点。

@SajitKunnumkal，也许您可​​以解释一下如何获得 O(log (4R/3)) ？

thang 是正确的。我犯了一个错误@bysreg。更正我的答案

【参考方案2】：

我不知道这是否正确，但我正在使用主定理的案例 2

T(R) = 3T(R/4) + theta(1)

f(R) = theta(1) = theta(R) = theta(R^(log4(3)))

f(R) = theta(R^(log4(3))) = theta(R^(log4(3)) * logk(R)) 在 k = 0 时为真，因此时间复杂度为：

T(R) = theta(R^(log4(3)) * log(R)) = theta(R^0.8 * log(R))

【讨论】：

为什么是case 2？如果 c = Theta(n^(0.8)) 我们可以使用案例 2 - 我们可以证明吗？

@smk case 2 要求是 f(R) = theta((R^c ) * (log(R))^k) 其中 c = logb a 对于某些常数 k>=0 是正确的.好吧，从我帖子的第二行可以看出 (f(R) = theta(1) = theta(R) = theta(R^(log4(3)))) theta(R^log4(3)) == theta((R^c) * (log(R))^k) 其中 k = 0