算法：找到分治算法的递归方程

Posted 2023-03-27

【中文标题】算法：找到分治算法的递归方程

【英文标题】：Algorithms: Find recursive equation of divide and conquer algorithm

【发布时间】：2017-08-19 08:02:55

【问题描述】：

我有以下“分而治之”算法 A1。

A1 将 size n 的问题划分为 size n/4 的 4 个子问题。 然后，解决它们并组合12n次的解决方案。

如何编写给出算法运行时间的递归方程。

【问题讨论】：

en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem

好的，你卡在哪里了？

@PaulHankin 我编辑了我的问题

【参考方案1】：

回答问题“我怎样才能写出给出算法运行时间的递归方程”

你应该这样写： 让 T(n) 表示输入大小为 n 的算法的运行时间

T(n) = 4*T(n/4) + 12*n;

【参考方案2】：

虽然主定理确实给出了答案的捷径，但必须了解 Big O 运行时的推导。分治递归关系写成T(n) = q * T(n/j) + cn的形式，其中q是子问题的数量，j是我们为每个子问题划分数据的数量，cn是划分/合并所需的时间/操作每个级别的每个子问题。 cn 也可以是 cn^2 或 c，无论运行时是什么。

在您的情况下，您有 4 个大小为 n/4 的子问题，每个级别在 12n 时间内得到解决，给出的递归关系为 T(n) = 4 * T(n/4) + 12n。从这个重复中，我们可以推导出算法的运行时间。鉴于它是分而治之的关系，我们可以假设基本情况是T(1) = 1。

为了解决重复问题，我将使用一种称为替换的技术。我们知道T(n) = 4 * T(n/4) + 12n，所以我们将替换T(n/4). T(n/4) = 4 * T(n/16) + 12(n/4)。将其代入方程得到T(n) = 4 * (4 * T(n/16) + 12n/4) + 12n，我们可以将其简化为T(n) = 4^2 * T(n/16) + 2* 12n。同样，我们在等式中还有更多工作要做，以捕获所有级别的工作，因此我们替换 T(n/16), T(n) = 4^3 * T(n/64) + 3* 12n。我们看到模式出现并且知道我们想要一直到我们的基本情况T(1)，所以我们替代得到T(n) = 4^k*T(1) + k * 12n。这个等式定义了分治算法中的工作总量，因为我们已经替换了所有级别，但是，我们仍然有一个未知变量 k，我们想要它以n 的形式得到k通过求解方程n/4^k = 1，我们知道我们已经达到了仅在一个变量上调用算法的地步。我们求解 n 并得到 k = log4n。这意味着我们已经完成了log4n 替换。我们将其插入k 并获得T(n) =4^log4n*T(1) + log4n * 12n。我们将其简化为T(n) =n *1 + log4n * 12n。由于这是大 O 分析，由于对数基数的变化，log4n 在 O(log2n) 中，我们得到 T(n) = n + 12n * logn，这意味着 T(n) 在 nlogn 的大 O 中。

【参考方案3】：

最能描述的递归关系由下式给出：

T(n)=4*T(n/4)+12*n

其中T(n)= 给定算法对于大小为 n 的输入的运行时间，4= 子问题的数量，n/4 = 每个子问题的大小。

使用主定理计算时间复杂度为：theta(n*log n)