平均情况和摊销分析之间的差异

Posted 2023-03-25

【中文标题】平均情况和摊销分析之间的差异

【英文标题】：Difference between average case and amortized analysis

【发布时间】：2011-11-12 02:23:45

【问题描述】：

我正在阅读一篇关于算法摊销分析的文章。下面是一段文字sn-p。

摊销分析类似于平均情况分析，因为它是 关注一系列操作的平均成本。 然而，平均案例分析依赖于概率假设 关于数据结构和操作，以便计算 算法的预期运行时间。因此它的适用性是 取决于关于概率分布的某些假设 算法输入。

平均案例界限并不排除人们将 变得“不走运”并遇到需要超出预期的输入 即使输入概率分布的假设是 有效。

我对上述文本 sn-p 的问题是：

在第一段中，平均情况分析如何“依赖于关于数据结构和操作的概率假设？”我知道平均情况分析取决于输入的概率，但上述陈述是什么意思？

作者在第二段中的意思是，即使输入分布有效，平均情况也不有效？

谢谢！

【问题讨论】：

看看这个，第二条评论，非常非常好！！哈哈programmers.stackexchange.com/questions/161404/…

@sorry_I_wont 看起来评论已被删除，因为我没有看到任何内容。

【参考方案1】：

平均案例分析对某些情况下可能无法满足的输入做出假设。因此，如果您的输入不是随机的，在最坏的情况下，算法的实际性能可能比平均情况慢得多。

摊销分析不做这样的假设，但它会考虑一系列操作的总体性能，而不仅仅是一个操作。

动态数组插入提供了一个摊销分析的简单示例。一种算法是分配一个固定大小的数组，并在插入新元素时，在必要时分配一个两倍于旧长度的固定大小数组。在最坏的情况下，插入所需的时间与整个列表的长度成正比，因此在最坏的情况下，插入是一个 O(n) 操作。但是，您可以保证这种最坏情况很少发生，因此插入是使用摊销分析的 O(1) 操作。无论输入是什么，摊销分析都成立。

【参考方案2】：

要获得平均情况时间复杂度，您需要对“平均情况”是什么做出假设。如果输入是字符串，那么“平均字符串”是什么？只有长度重要吗？如果是这样，我将得到的字符串的平均长度是多少？如果不是，这些字符串中的平均字符是多少？例如，如果字符串是姓氏，则很难明确回答这些问题。平均姓氏是多少？

在大多数有趣的统计样本中，最大值大于平均值。这意味着您的平均案例分析有时会低估某些输入所需的时间/资源（这是有问题的）。如果您考虑一下，对于对称 PDF，平均案例分析应该低估和高估一样多。最坏情况分析 OTOH 只考虑最有问题的情况，因此肯定会高估。

【讨论】：

您很好地谈论“平均案例”，但如果它也清楚地说明“摊销案例”的作用，这个问题会更好。

【参考方案3】：

考虑计算未排序数组中的最小值。也许你知道它有O(n) 运行时间，但如果我们想要更精确，它会在平均情况下进行n/2 比较。为什么这个？因为我们正在对数据进行假设；我们假设最小值可以以相同的概率出现在每个位置。 如果我们改变这个假设，例如我们说处于第 i 个位置的概率随着 i 的增加而增加，我们可以证明一个不同的比较数，甚至是一个不同的渐近界。

在第二段中，作者说，通过平均案例分析，我们可能非常不走运，并且测量的平均案例大于理论案例；回想一下前面的例子，如果我们在 m 个大小为 n 的不同数组上运气不好，并且最小值每次都在最后一个位置，那么我们将测量 n 平均情况而不是 n/2。当摊销界限被证明时，这不会发生。

【讨论】：

如何计算只有 n/2 个比较的未排序数组中的最小值？我认为您恰好需要n-1。不仅平均，而且总是如此。

我同意@StefanPochmann。我只是想补充一点，我将使用在数组中查找元素的示例来更改示例。在这种情况下，假设您的算法从左到右直到找到元素，它会在找到它时停止，您可以坚持您正在执行的分析。