找到左侧较小元素的总和

Posted 2023-02-16

【中文标题】找到左侧较小元素的总和

【英文标题】：finding the sum of smaller elements on left

【发布时间】：2012-03-10 13:12:19

【问题描述】：

我遇到了一个问题，即在整数数组中查找每个元素左侧的较小元素的数量，这可以通过使用 二叉索引树在 O(nlgn) 中解决（如 AVL 等）或 合并排序。使用 AVL 树可以计算每个元素的左子树的大小，这将是必需的答案。但是我想不出如何有效地计算每个元素留下的较小元素的 sum。对于每个元素，我是否必须遍历左子树并对节点处的值求和，还是有更好的方法（使用合并排序等）？ 例如对于数组：4,7,1,3,2 所需的答案是：0,4,0,1,1

谢谢。

【问题讨论】：

最后一个答案不应该是1吗？另外，您能否描述一下如何使用 AVL 树解决计数问题？我不清楚。

谢谢..更正。对于计数问题，在添加任何元素时，它会与 root 进行比较，如果小于则添加到左侧，否则添加到右侧。因此，对于任何节点，其左子树的大小都会给出比它小的元素数。

是的，这样您就可以计算比它小的项目数。但它们不仅限于左侧的项目。哦，也许现在我明白了：您在插入东西后立即数较小的项目，而不是在最后，对吧？

【参考方案1】：

在二叉索引树中，您为二叉搜索树的每个节点存储子节点的数量。这使您可以找到每个节点之前的节点数（较小元素的数量）。

对于此任务，您可以为二叉搜索树的每个节点存储子节点值的总和。这使您可以找到前面节点的值的总和（较小元素的总和）。也在 O(n*log(n)) 中。

【参考方案2】：

检查二叉索引树上的this tutorial。这是一个结构，它使用 O(n) 内存并且可以执行这样的任务： 1. 将 a[i] 的值更改为 (to) x，调用此 add(i,x); 2. 返回所有a[i], iget(x). 在 O(log n)。

现在，如何将它用于您的任务。您可以分两步完成此操作。 第一步。从原始数组中复制、排序和删除重复项。现在您可以重新映射数字，使它们在 [1...n] 范围内。 步骤 2. 现在从左到右遍历阵列。设 A[i] - 原始数组中的值，new[i] - 映射值。 （如果 A = [2, 7, 11, -3, 7] 那么 new = [2, 3, 4, 1, 2]）。

答案是get(new[i]-1)。

更新值：add(new[i], 1) 用于计数，add(new[i], A[i]) 用于求和。

总之。排序和重新映射是 O(n logn)。处理数组是 n * O(log n) = O(n log n)。所以总复杂度是 O(n logn)

或者，使用treap（俄语）。

编辑：构建新数组。 假设原始数组 A = [2, 7, 11,-3, 7] 将其复制到 B 并排序，B = [-3, 2, 7, 7, 11] 做一个独特的 B = [-3, 2, 7, 11]。 现在要获得新的，你可以

将所有元素按升序添加到映射中，例如(-3 -> 1, 2->2, 7->3, 11->4) 对于 A 中的每个元素，对 B 进行二分查找

【讨论】：

对于最后一个'7'的位置是如何确定的？是（第一个'7'的位置）-1，如果有超过2个重复，是否会类似计算？

如果你想删除重复的数组从第二个元素移动到结束，支持重复计数。如果 B[i] == B[i-cnt-1] 将 cnt 增加 1。否则如果 cnt != 0，则交换 B[i] 和 B[i-cnt]。从 B 中删除最后一个 cnt 元素。基本上，您想要获取 相对 数字，而不是初始值以使用 BIT。

对于每个节点，都有其子树中的键的总和。当合并/拆分做 sum(parent) = sum(left) + sum(right) + value。然后当得到所有的总和时，小于 X 对 X 进行切片，返回左树的总和。如果优先级是随机的，这两个操作都在 O(4 * log N) 中工作，所以你有 O(log N) 的解决方案。

@kilotaras：可能是我错过了一些非常明显的东西，但这是我所理解的......从映射中，如果我们对每个 A 的元素进行二进制搜索：2-> 2, 7->3, 11->4, -3->1 和 7-> ?我们如何为 7 再次获得“2”，以便新数组为 2,3,4,1,2

new[i] 是 A[i] 在 B 中从 1 开始的位置。您可以通过 2 种方式找到它。有一个 map:value -> 新值。对于 A 中的每个数字，对 B 进行二分搜索，得到它的位置。

【参考方案3】：

以下代码的复杂度为 O(nlogn)。 它使用二叉索引树来解决问题。

#include <cstdio>
using namespace std;

const int MX_RANGE = 100000, MX_SIZE  = 100000;
int tree[MX_RANGE] = 0, a[MX_SIZE];

int main() 
  int n, mn = MX_RANGE, shift = 0;
  scanf("%d", &n);

  for(int i = 0; i < n; i++) 
    scanf("%d", &a[i]);
    if(a[i] < mn) mn = a[i];  
  

  shift = 1-mn; // we need to remap all values to start from 1

  for(int i = 0; i < n; i++) 
    // Read answer
    int sum = 0, idx = a[i]+shift-1;
    while(idx>0) 
      sum += tree[idx];
      idx -= (idx&-idx);
     

    printf("%d ", sum);

    // Update tree
    idx = a[i]+shift;
    while(idx<=MX_RANGE) 
      tree[idx] += a[i];
      idx += (idx&-idx);
    
  

  printf("\n");