如果 L 和 L 补码是递归可枚举的，那么为啥 L 不能是正则语言？

Posted 2023-03-16

【中文标题】如果 L 和 L 补码是递归可枚举的，那么为啥 L 不能是正则语言？

【英文标题】：If L and L complement are Recursively enumerable then why can't L be a Regular language?如果 L 和 L 补码是递归可枚举的，那么为什么 L 不能是正则语言？

【发布时间】：2021-01-15 18:47:15

【问题描述】：

GATE 2008 论文中提出了以下问题：

如果 L 和 L' (L 补码) 是递归可枚举的，那么 L 是 ?

a) 常规 b) 节能灯 c) 中超 d) 递归

正确的选项是选项 (d)，我接受这是真的。 但我的问题是为什么不能是常规或 CSL ？

因为我认为如果我们认为 L 是正则的，那么 L' 也是正则的（因为正则语言在互补下是封闭的）。现在由于 L' 是常规的，因此根据“乔姆斯基层次结构” L' 也是递归可枚举的。即使是 L 在常规之后，它也适合问题陈述，那么为什么选项（a）不是正确的选项？ CSL 也是如此，为什么选项 (c) 也不是正确选项？

【问题讨论】：

可以，但不保证会。

但是如何保证是递归的呢？

问题陈述说它是递归可枚举的，而 L' 是递归可枚举的。因此，L 是递归的。

是的，你说得对。但是，如果问题陈述说 L 是递归可枚举的，这并不意味着它不能是正则的（bcoz 每个正则也是递归可枚举的）。现在如果它是正则的，那么 L' 正则和现在 L' 也可以说是递归的。我的意思是这是一个可能的情况。对吗？

它并没有说它不是正则的（它可能是因为所有正则语言都是递归可枚举的），但它并没有说它是正则的。因此，您必须考虑所有可递归枚举的语言，而不仅仅是常规语言。

【参考方案1】：

如果 L 和 L' 都是递归可枚举的，那么

a) L 可能是正则的（事实上，如果 L 是正则的，那么 L' 也是正则的，并且所有正则语言都是递归可枚举的）...但是有些非正则语言的补码是递归可枚举的

b) L 可能是 CFL（有些 CFL 的补码也是 CFL，也有 CFL 的补码不是 CFL）...但是有些非上下文无关语言的补码可以递归枚举

c) L 可能是 CSL（有些 CSL 的补码是 CSL）...但是有些非上下文敏感语言的补码是递归可枚举的

d) L 必须是递归的，因为由于 L 和 L' 都是递归可枚举的，我们有一个有效的可计算过程来确定任何给定的字符串是否在 L 中：开始枚举每种语言中的字符串，交错枚举（所以你给出 L 中的下一个字符串，然后是 L' 中的下一个字符串，然后返回 L，等等）。继续这个过程最终会在 L 或 L' 中找到目标字符串，此时您可以返回 true（如果它在 L 中枚举）或 false（如果在 L' 中枚举）。

因此，虽然 L 可以是正则的，CFL 或 CSL 是真的，但它可能不是其中任何一个也是真的；但它必须绝对是递归的。因此，这是“最佳”答案，也是唯一在所有情况下通常都是正确的答案。

【参考方案2】：

快速回顾一下语言类——我们知道这 5 个语言类都是（严格）彼此的子集：

regular ⊂ CFL ⊂ CSL ⊂ recursive ⊂ recursive enumerable

问题是，如果我们知道语言 L 是递归可枚举的，并且我们知道它的补码 L' 也是递归可枚举的，那么我们能说什么来确定 L 属于哪个更小的类？

答案等同于说，如果语言 L 是递归可枚举而不是递归的，那么 L' 不是递归可枚举的。该陈述是正确的，但任何其他语言类的等效陈述都不是。