给定 5 个数字，找到中位数所需的最小比较次数是多少？

Posted 2023-03-16

【中文标题】给定 5 个数字，找到中位数所需的最小比较次数是多少？

【英文标题】：given 5 numbers, what is the minimum number of comparisons needed to find the median?

【发布时间】：2010-12-07 19:53:36

【问题描述】：

一般而言，您如何设置最小比较次数？

【问题讨论】：

见cstheory.stackexchange.com/questions/12257/…

【参考方案1】：

引用 Donald Knuth（通过***，因为我目前没有我的 TAOCP 副本），比较次数的下限是 6：

http://en.wikipedia.org/wiki/Selection_algorithm（向下滚动到标题为“下限”的部分）。

实际上，您的目标是找到 k 个最小值，其中 k 是列表大小的一半，向上取整（因此，k = 3；n = 5），然后取其中的最大值。将其插入页面上的公式中，您会得到：

(5 - 3) + 1 + 1 + 2 = 6

在这种情况下，the actual minimum number of required comparisons is also six。

如果您怀疑求中位数的任务与求 k 个最小值一样困难，您可以参考 Knuth 的 TAoCP，第 3 卷，第 5.3.3 章后的练习 #2。

【讨论】：

但是，找到 N/2 个最低元素并不像只找到一个中位数那么难。

一旦你找到了 N/2 个最小的元素，这些元素中最大的就是中位数，并且由于你刚刚完成了所有必要的比较，你知道 N/2 中的哪一个最小的元素是最大的。

感谢 TAoCP 参考，Pavel。

同意。 6 是你能做的最好的。

你或我的计算有问题。 (5 - 3) + 2 + 3 是我的解决方案。 log_2(4) = 2 和 ceil(log_2(5) = 3。需要帮助！

【参考方案2】：

Donald Knuth 的计算机编程艺术第 3 卷的第 5.3.3 节，最小比较选择中有很多关于此的材料，其中考虑选择第​​ t 个最大 n 个值所需的最小比较次数的更一般问题。 （这个值用V_t(n)表示）。

Knuth 给出 n - t + (t-1)⌈lg(n + 2 - t)⌉ 对于 V_t(n )，首先通过锦标赛系统确定 n - t + 2 的最大元素，然后将其删除（因为它不可能是第 t 个最大元素）并将其替换为其余元素之一，继续此过程，直到所有元素都已成为此过程的一部分，然后此阶段的最大元素是原始集合中的第 t 个最大元素。在这种情况下，n = 5 和 t = 3，所以这个公式给出的上限是 6 次比较。

Knuth 提到这个上限在 n ≤ 6 时是精确的，因此适用于这种情况。总的来说，我的理解是，没有找到用于选择（和排序）的最小比较算法的通用程序，并且增加 n 值的记录通常使用特殊技巧，这些技巧通常不适用于当 n 增加时，更大的值或被其他技巧简单地击败。