为啥matlab和python中的特征向量计算不匹配？

Posted 2023-03-12

【中文标题】为啥matlab和python中的特征向量计算不匹配？

【英文标题】：Why are eigenvector computations in matlab and python not matching?为什么matlab和python中的特征向量计算不匹配？

【发布时间】：2021-12-01 12:31:36

【问题描述】：

Matlab：

m1 = [ 333.33333333  83.33333333   0. ;  83.33333333 333.33333333  83.33333333 ;  0.   3.33333333 166.66666667]
k1 = [ 800. -400.    0.; -400.  800. -400.;   0. -400.  400.]
[vec, val] = eig(m1, k1)

vec =

   -0.0106   -0.0289    0.0394
    0.0183   -0.0000    0.0683
   -0.0211    0.0289    0.0789

蟒蛇：

import scipy
import numpy as np
m1 = np.array[[333.33333333,  83.33333333,  0.], [ 83.33333333, 333.33333333, 83.33333333], [0., 83.33333333, 166.66666667]]
k1 = np.array[[800., -400.,  0.], [-400.,  800., -400.], [0., -400.,  400.]]
val, vec = scipy.linalg.eig(m1, k1)

vec = 
[[ 3.53553391e-01, -7.07106781e-01,  3.53553391e-01], 
[ 6.12372436e-01,  1.88119544e-16, -6.12372436e-01], 
[ 7.07106781e-01,  7.07106781e-01,  7.07106781e-01]]

所以 matlab 和 python 特征向量vec 不匹配。 Matlab document 说

[V,D] = eig(A,B) 返回广义特征值的对角矩阵 D 和全矩阵 V，其列是对应的右 特征向量，所以A*V = B*V*D.

和m1 * vec = k1 * vec * val 满足matlab 输出但不满足python 输出。如何使用 python、numpy 获得 matlab 给出的相似特征向量？

【问题讨论】：

我认为这个区别在之前的SO中已经讨论过了，虽然我没有太关注。看起来像两列的向量，但归一化是否相同？下单怎么样？ np.linalg.eig 似乎有更完整的文档。

【参考方案1】：

特征向量不是唯一的；如果x 是一个特征向量，那么a * x 仍然是任何非零标量a 的特征向量。

看python和matlab的两个结果； matlab 中vec 的第一列看起来像python 中vec 第三列的缩放版本。 matlab 的第二列似乎是 python 的第二列的缩放版本（回忆1.88119544e-16 几乎为零）。第三列对应于第一列。所以我的猜测是matlab中的val是python中val的反转版本；我无法验证这一点，因为我现在没有 matlab，但你可以验证这一点。

同样在 python 中，请记住 * 是元素乘法（即，.* 在 matlab 中）。您可以使用@ 进行矩阵乘法。

import scipy.linalg
import numpy as np
m1 = np.array([[333.33333333,  83.33333333,  0.], [ 83.33333333, 333.33333333, 83.33333333], [0., 83.33333333, 166.66666667]])
k1 = np.array([[800., -400.,  0.], [-400.,  800., -400.], [0., -400.,  400.]])
val, vec = scipy.linalg.eig(m1, k1)

print(m1 @ vec)
print(k1 @ vec * val)

正如你在下面的输出中看到的，我们有相同的输出（虚部是0.j，所以你可以忽略它）。

输出：

[[ 1.68882167e+02 -2.35702260e+02  6.68200939e+01]
 [ 2.92512493e+02 -3.14270210e-09 -1.15735798e+02]
 [ 1.68882167e+02  1.17851130e+02  6.68200939e+01]]
[[ 1.68882167e+02+0.j -2.35702260e+02+0.j  6.68200939e+01+0.j]
 [ 2.92512493e+02+0.j -3.14263578e-09+0.j -1.15735798e+02+0.j]
 [ 1.68882167e+02+0.j  1.17851130e+02+0.j  6.68200939e+01+0.j]]