计算整数的除数而不只是枚举它们（或估计如果不可能）？ [关闭]

Posted 2023-02-16

【中文标题】计算整数的除数而不只是枚举它们（或估计如果不可能）？ [关闭]

【英文标题】：Counting an integer's divisors without just enumerating them (or estimating if not possible)? [closed]

【发布时间】：2015-11-15 05:24:59

【问题描述】：

是否可以计算一个整数的除数而不只检查每个除数，直到sqrt(n)？如果没有，是否至少有一种方法可以估计或近似有多少除数？

例如，28 有六个除数（1、2、4、7、14、28）。 15 有四个（1、3、5、15）。比如说，我想弄清楚 242134575355654335549798955848371716626563756785 有多少个除数，而不是一直算到那个数（或者至少猜测一下，然后从那里拿走）。

【问题讨论】：

你还能举一些例子吗？

Integer Factorization Algorithms

我投票结束这个问题，因为它不是关于编程而是关于数学。

@HighPerformanceMark 我认为数学方面是“有多少除数”，而有效地计算除数更多的是关于编程（是的，使用数学洞察力）。

@TimBiegeleisen 你在找什么样的例子？

【参考方案1】：

如果一个数的素数分解已知

N = p1^e1 * p2^e2 * ... * pn^en

除数是(e1+1)*(e2+1)* ... *(en+1)

例如 242134575355654335549798955848371716626563756785 = 5 * 48426915071130867109959791169674343325312751357 有 4 个除数

排名第一的 242134575355654335549798955848371716626563756786 = 2 * 101203 * 757790982862309619 * 1578643235504300177689649 有 16 个除数。

有一些算法可以比试除法更快地找到一个数的素因式分解，直到sqrt(n)。对于大数字，仍需要一段时间...

【讨论】：

但是，问题是如何直接获得素因数分解！

如果有很多小因数，质因数分解会很快。 （你找到的每个除数都会减少问题的大小）。只有成为素数的数字，或大素数的乘积，才会花费大量时间。您的回答意味着没有任何技巧可以在不找到除数的情况下计算除数。你相当确定没有已知的算法吗？如果是这样，你知道它是否已被证明不存在吗？我的意思是，我不认为有一个，但我根本不是一个数论家，而且有很多我不知道的东西。 :P

@PeterCordes 当然，人们永远无法确定没有技巧，而且我不知道有证据证明不存在。

【参考方案2】：

有一种方法可以比 sqrt(N) 更快地分解一个数字，但如果 n Here 是一个很好的解释，我也从中学到了。你可以要求我澄清。

【讨论】：

这其实不是真的，有一些方法可以更快地分解。

你说有办法比 logN 更快或比 sqrt(n) 更快，并且 n

比 sqrt(N) 更快，n

嗯，我通常在竞争性的编程网站上闲逛，我添加了使算法在 1 秒内运行并且不让它使用太多内存作为习惯的条件。让我们删除条件并说有一种 nlogn 方法可以对数字进行因式分解。我们现在好吗：D