是啥让 NP-hard 问题不是 NP-complete 问题？

Posted 2023-02-16

【中文标题】是啥让 NP-hard 问题不是 NP-complete 问题？

【英文标题】：What makes an NP-hard problem not to be an NP-complete problem?是什么让 NP-hard 问题不是 NP-complete 问题？

【发布时间】：2011-08-04 23:20:12

【问题描述】：

我对 NP 难题感到困惑。 一些 NP-hard 问题在 NP 中称为 NP-Complete，而有些则不在 NP 中。 例如：停机问题只是 NP-hard，而不是 NP-complete。 但为什么它不是 NP-complete 呢？我的意思是问题必须符合什么属性 “NP难但不是NP完全问题”？

【问题讨论】：

你可能会发现这个网站的使用：cstheory.stackexchange.com

一直是closed as "too elementary" on the CS Theory SE ;-)

我不是在建议迁移，只是一些有趣的阅读。

【参考方案1】：

我认为最短的答案是：NP-complete = NP-hard AND in NP。

因此，要证明一个问题是 NP 完全的，您必须证明它既是 NP 难的又是 NP 的。通常，表明问题存在于 NP 中非常容易（只需给出一个非确定性多项式时间算法）。证明一个问题是 NP-hard 是非常困难的。因此，即使在 NP-完备性的证明中，大部分证明都致力于 NP-硬度。

对于停机问题，它不在NP中，因此不是NP完全的。

【参考方案2】：

定义 NP 的原因是您可以在多项式时间内验证 NP 问题的解。因此，如果一个问题是 NP 难的，但不是 NP 完全的，则您无法在理论上及时验证问题的解决方案。如果您查看停止问题，这是有道理的。解决方案是“是”或“否”，您只能通过再次解决原始问题来验证，这意味着它不在 NP 中。

【参考方案3】：

NP-hard 简单的意思是“至少和 NP 中的问题一样难”。 NP-complete的意思是“在NP中，所有的NP-complete问题都可以归结为这个问题，这个问题可以归结为所有的NP-complete问题”。

The Wikipedia article 可能是一个很好的起点，因为它专门讨论了停机问题作为其插图之一。

【讨论】：

我读了***的文章，但不太明白。我的意思是“至少和 NP 中的问题一样难”，什么？ NP-hard 问题也满足这种归约性质。

所有 NP 完全问题都是 NP 难题，一些 NP 难题比 NP 完全问题更难（也就是说，它们至少与 NP 完全问题一样难，但不可翻译到/从 NP 完全问题）。

【参考方案4】：

简短回答： 唯一不是 NP 完全的 NP 难题是那些不属于 NP 的问题。

长答案：

现在，这是为什么呢？让我们仔细看一下 NP-complete 和 NP-hard 的定义：

问题 X 是 NP 完全的，如果：

在NP中

NP 中的每个问题都可以在多项式时间内简化为 X。

如果问题 X 满足 (2) 则为 NP-hard（(1) 不是必要条件）。

根据这些定义，很明显可以得出这样的结论：NP 难但不是 NP 完全的唯一问题是 NP 之外的问题。

例如，所有不是决策问题的 NP-hard 问题都不是 NP 完全的（因为根据定义，NP 是由决策问题形成的）。特别是旅行推销员问题的搜索版本：给定一个城市列表及其成对距离，任务是找到最短的可能路线，该路线仅访问每个城市一次并返回到起点城市。

TSP 的搜索版本被证明是 NP 难的，但由于它不是决策问题（您无法通过对问题回答是或否来解决它）它不是 NP 的一部分，因此不能是 NP 完全的.

停止问题是一个决策问题，但它在多项式时间内无法验证（根据定义，问题在 NP 中的第二个要求），这就是为什么它不能是 NP 完全的。 p>