三个正数 x、y、z 的组合，使得 x + y、x - y、y + z、y - z、x + z 和 x - z 是完全平方

Posted 2023-02-25

【中文标题】三个正数 x、y、z 的组合，使得 x + y、x - y、y + z、y - z、x + z 和 x - z 是完全平方

【英文标题】：Combinations of three positive numbers x, y, z so that x + y, x - y, y + z, y - z, x + z and x - z are perfect squares

【发布时间】：2013-02-26 16:03:33

【问题描述】：

早上好，我是新来的，我带来了一个小问题。我无法为以下问题开发有效的算法： 我需要找到三个正数 x、y 和 z 的组合，以便 x + y、x - y、y + z、y - z、x + z 和 x - z 是完美的正方形。 问题是要开发一种算法来找到 x、y 和 z 在 1 之间的所有组合 和 2,000,000。

目前我在for 中使用for，在我有孙子之前肯定不会结束。

【问题讨论】：

那么，加速获得孙子，可能是解决这个问题的有趣方法；）+1 提出好问题

约束是1<x,y,z<2000000还是1<x+y,x-y,...<2000000？

在某些情况下，知道every square is the sum of two consecutive triangular numbers 可能会有所帮助（尽管这当然并不意味着只有三角数和平方）。

表达式 x + y、x - y、y + z、y - z、x 和 x + z - z 的结果必须是完全平方。使得 x、y 和 z 在 1 到 2000,000 之间。由此该算法似乎实现了要求 X> Y> Z，因为根据上述表达式 xy 为负，如果 Y 将高于 XZ。

【参考方案1】：

从替换开始的基本思想，例如：

 u = x + y
 v = x - y
 w = y + z

那么 x + y, x - y, y + z, y - z, x + z 和 x - z 变为

 u, v, w, u - v - w, v + w, u - w   [all have to be squares]

然后用另一个替换，u = a²，v = b²，w = c²，你得到：

 a², b², c², a² - b² - c², b² + c², a² - c²    [all have to be squares]

现在您可以枚举所有可能已经足够快的 a、b、c-s。

进一步的想法可能是首先使用Pythagorean triples 枚举所有 b²、c²、b²+c²（通过将其替换为 m 和 n，枚举所有互质数 (m,n)，然后使用欧几里德公式），然后找到给定的(b,c) 以类似的方式（例如将 a² - c² = x² 更改为 a² = x² + c² 并再次使用三元组）。

【讨论】：

于是我有了开始寻找终极 X 然后 Y 来寻找答案的想法 X + Y 是一个完美的正方形（无论结果是否在范围内或与其他结果），X - Y 是完全平方。让“X”和“Y”寻找“Z”，其他表达式实现，直到您找到有效的组合并存储或打印。 BeniBela “从替换开始的基本想法，例如：u = x + y v = x - y w = y + z”似乎是个好主意，我会尝试使用它。谢谢

【参考方案2】：

扩展BeniBela's answer，

x + y = (x - z) + (y + z)
x + y = (x + z) + (y - z)

因此，只有当斜边可以用两种不同的形式表示时，三元组才有效。 进一步的过滤可以通过观察 (x - z) 和 (x + z) 也形成毕达哥拉斯三元组的斜边来完成。