镜头畸变模型与校正模型

Posted 2023-02-25

【中文标题】镜头畸变模型与校正模型

【英文标题】：Lens distortion model vs correction model

【发布时间】：2016-09-23 23:56:02

【问题描述】：

lens model in OpenCV 是一种扭曲模型，它将理想位置扭曲到相应的真实（扭曲）位置：

x_corrected = x_distorted (1 + k_1 * r^2 + k_2 * r^4 + ...), y_corrected = y_distorted (1 + k_1 * r^2 + k_2 * r^4 + ...),

其中 r^2 = x_distorted^2 + y_distorted^2 在标准化图像坐标中（为简单起见，省略了切向失真）。这也可以在 Z. Zhang：“A Flexible New Technique for Camera Calibration”中找到，TPAMI 2000 以及 Bouguet 的“Camera Calibration Toolbox for Matlab”。

另一方面，Bradski 和 Kaehler：“Learning OpenCV”在第 376 页介绍了镜头模型作为校正模型，它将扭曲的位置校正到理想位置：

x_distorted = x_corrected (1 + k'_1 * r'^2 + k'_2 * r'^4 + ...), y_distorted = y_corrected (1 + k'_1 * r'^2 + k'_2 * r'^4 + ...),

其中 r'^2 = x_corrected^2 + y_corrected^2 在归一化图像坐标中。 Hartley 和 Zisserman：“计算机视觉中的多视图几何”也描述了这个模型。

我了解校正和失真模型在实践中各有利弊。例如，前者使检测到的特征点位置的校正变得容易，而后者使整个图像的不失真变得简单。

我的问题是，为什么它们共享相同的多项式表达式，而它们应该是彼此的逆？我可以找到this document 评估可逆性，但我不清楚它的理论背景。

感谢您的帮助。

【问题讨论】：

您可能希望提供有关这两种方法的更多详细信息，这样我们就不必搜索 5 篇论文和书籍来查找您所谈论的内容。一般来说，这两种方法都有相同的目标。它们校正相同的光学像差。因此我希望他们共享相同或非常相似的多项式

感谢您的评论。我已经添加了方程式。

【参考方案1】：

我认为简短的回答是：它们只是不同的模型，所以它们不应该是彼此的倒数。就像你已经写的那样，每个都有自己的优点和缺点。

至于可逆性，这取决于多项式的阶数。二阶（二次）多项式很容易反转。 4 阶需要更多的工作，但仍然可以在分析上反转。但是，一旦您添加了一个 6 阶项，您可能不得不求助于数值方法来求逆，因为在一般情况下，5th-order or higher polynomial 在分析上是不可逆的。

【讨论】：

非常感谢您的回答。我同意它们是不同的模型，即使它们显然具有相同的结构。

【参考方案2】：

根据泰勒展开式，世界上每个公式都可以写成 c0 + c1*x + c2*x^2 + c3*x^3 + c4*x^4... 目标只是发现常数。 在我们的特定情况下，表达式必须在 x 和 -x（偶函数）中对称，因此 x、x^3、x^5、x^7 中的常数等于 0。