编程语言如何处理大数算术

Posted 2023-02-25

【中文标题】编程语言如何处理大数算术

【英文标题】：How do programming languages handle huge number arithmetic

【发布时间】：2010-11-29 03:40:48

【问题描述】：

对于使用 64 位处理器的计算机，它可以处理的最大数字是 2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616。编程语言（比如 Java 或 C、C++）如何处理高于此值的数字的算术运算。任何收银机都不能将其作为一个整体保存。这个问题是如何解决的？

【问题讨论】：

这是一个关于大整数的问题还是关于表示多大的浮点数的问题？

整数只是为了让这个概念像现在一样正确:)

我问了一个类似的问题，最终找到了我的方式； ***.com/questions/1218149/… 狩猎愉快！

【参考方案1】：

有很多专门的技术可以对大于寄存器大小的数字进行计算。其中一些在arbitrary precision arithmetic的这篇***文章中进行了概述@

C 和 C++ 等低级语言将大量计算留给您选择的库。一个值得注意的是GNU Multi-Precision library。 Python等高级语言将其集成到语言的核心中，因此普通数字和非常大的数字对程序员来说是相同的。

【参考方案2】：

你假设错了。 在单个寄存器中可以处理的最大数字是 64 位数字。但是，使用一些智能编程技术，您可以将几十个这些 64 位数字连续组合在一起，以生成一个巨大的 6400 位数字，并使用它来进行更多计算。只是没有将数字放在一个寄存器中那么快。

即使是旧的 8 位和 16 位处理器也使用了这个技巧，他们只会让数字溢出到其他寄存器。它使数学变得更复杂，但并没有结束可能性。

但是，如此高精度的数学运算是极其不寻常的。即使你想计算美国的全部国债并将结果存储为津巴布韦元，我认为 64 位整数仍然足够大。不过，它绝对足够容纳我的储蓄账户的金额。

【讨论】：

not true.... 尤其是小数部分，他们不想快速四舍五入（例如使用普通浮点数时）

@reinier，Donald Knuth 写了几本关于这个主题以及计算机和数学的好书和文章。我建议你开始阅读其中的一些。许多语言都有一个特殊的 BigNum 库，可以通过多种方式实现。 （见en.wikipedia.org/wiki/Bignum）

不稀奇..嗯怎么样..说我想要35！..很容易越界

【参考方案3】：

处理真正大量数字的编程语言使用自定义数字原语，这些原语超出了为 32、64 或 128 位 CPU 优化的正常操作。这些数字在计算机安全和数学研究中特别有用。

GNU Multiple Precision Library 可能是这些方法中最完整的示例。

您可以使用数组来处理更大的数字。在您的网络浏览器中尝试一下。在 Web 浏览器的 javascript 控制台中键入以下代码：

JavaScript 失败的地方

console.log(9999999999999998 + 1)
// expected 9999999999999999
// actual  10000000000000000  oops!

JavaScript 不处理9999999999999998 以上的纯整数。但是编写自己的数字原语是为了使这个计算工作足够简单。这是使用a custom number adder class in JavaScript 的示例。

使用自定义数字类通过测试

// Require a custom number primative class
const Num = require('./bases')

// Create a massive number that JavaScript will not add to (correctly)
const num = new Num(9999999999999998, 10)

// Add to the massive number
num.add(1)

// The result is correct (where plain JavaScript Math would fail)
console.log(num.val)  // 9999999999999999

工作原理

您可以查看class Num ... 的代码以查看正在发生的事情的详细信息；但这里是使用逻辑的基本概述：

类：

Num 类包含单个 Digit 类的数组。 Digit 类包含单个数字的值，以及处理Carry flag 的逻辑

步骤：

选择的数字变成字符串 每个数字都转换为Digit 类并作为数字数组存储在Num 类中 当Num 递增时，它会被传送到数组中的第一个Digit（最右边的数字） 如果Digit值加上Carry flag等于Base，则调用左边的下一个Digit递增，并将当前编号重置为0 ...一直重复到数组最左边的数字

从逻辑上讲，它与机器级别发生的事情非常相似，但在这里它是无限的。你可以read more about about how digits are carried here;这可以应用于任何基数。

【参考方案4】：

Ada 实际上本机支持这一点，但仅限于它的无类型常量（“命名数字”）。对于实际变量，您需要找到一个任意长度的包。见Arbitrary length integer in Ada

【讨论】：

+1 很高兴在 SO 上见到你，T.E.D.

我只是注意到 Ada 支持它作为内置的，在其他地方阅读，但不知道它仅限于常量。这有点奇怪。你甚至可以取一个常量 bignum + 一个小的 int，并最终得到一个 bignum 结果吗？

【参考方案5】：

和你差不多。在学校里，你记住了个位数的加法、乘法、减法和除法。然后，您学习了如何将多位数问题作为单位数问题的序列来处理。

如果您愿意，您可以将两个 20 位数字相乘，只需了解简单的算法和一位数的乘法表即可。

【讨论】：

这是真的，就目前而言。然而，它只完成了最基本的操作：加法、减法、乘法和除法只是开始。然后，要真正处理好任意数字，您必须担心平方根、精确跟踪等。这就是为什么我认为每种语言都应该提供一个好的、完整的实现作为标准。

【参考方案6】：

一般来说，语言本身不处理高精度、高精度的大数运算。 库更有可能是编写的，它使用替代的数值方法来执行所需的操作。

例如（我现在只是在编造这个），这样的库可能会模拟您可能用来手动执行大量算术的实际技术。此类库通常比使用内置算法慢得多，但有时需要额外的精度和准确度。

【讨论】：

好吧，不管怎样，当涉及到算术运算时，比如将两个大数相加，它们都必须在寄存器中，而寄存器的大小是不够的。这个问题是如何解决的？

您可以通过执行许多较小的算术运算来执行单个大型算术运算。我想我在第二段中说得很清楚......

你不会一下子在一张纸上把 123098712380714091823 加到 120497235897345089273403 上吧？您一次执行许多较小的操作。

【参考方案7】：

作为一个思想实验，想象存储为字符串的数字。具有对这些任意长的数字进行加法、乘法等功能。

实际上，这些数字可能以更节省空间的方式存储。

【参考方案8】：

将一个机器大小的数字视为一个数字，并从小学开始应用多位乘法算法。这样您就不需要将整数保存在寄存器中，只需将数字保存在它们的处理上即可。

【参考方案9】：

大多数语言将它们存储为整数数组。如果您添加/减去这些大数字中的两个，则库会分别添加/减去数组中的所有整数元素并处理进位/借位。 这就像学校里的手动加/减法，因为它在内部是这样工作的。

一些语言使用真正的文本字符串而不是整数数组，这样效率较低但更容易转换为文本表示形式。