如何有效地合并两个 BST？

Posted 2023-02-25

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【中文标题】如何有效地合并两个 BST？【英文标题】：How to merge two BST's efficiently? 【发布时间】：2010-11-03 18:10:24 【问题描述】：

如何合并两个保持BST属性的二叉搜索树？

如果我们决定从树中取出每个元素并将其插入到另一个中，则此方法的复杂度将是O(n1 * log(n2))，其中n1 是树的节点数（比如T1），我们已经分裂了，n2 是另一棵树的节点数（比如T2）。在这个操作之后，只有一个 BST 有n1 + n2 节点。

我的问题是：我们能比 O(n1 * log(n2)) 做得更好吗？

【问题讨论】：

将树 1 的根插入树 2 并非在所有情况下都有效。您假设所有二叉搜索树都是平衡的。（例如伸展树不是）另外我认为你的复杂性略有下降。因为 n2 正在增加，所以当您插入值时，树会变得更深。也许 (n1 + n2) / 2 是一个更好的近似值（因为在插入的开头，插入的时间是 O(log n2)，最后是 O(log(n1 + n2))。 @Evan Teran, ah union bf 例如，它们的范围 [a,h] 和 [b,f] 重叠，因此不能插入作为叶节点进入另一个 【参考方案1】：

如何将两棵树展平为排序列表，合并列表然后创建一个新树？

【讨论】：

正如其他人在我的帖子后指出的那样，这个过程的复杂性是 O(n1+n2)。例如，请参阅 yairchu 对我的回答的阐述。您的帖子和@yairchu 之间的无限重定向循环。【参考方案2】： 将树扁平化为排序列表。合并排序列表。从合并列表中创建树。

IIRC，即 O(n1+n2)。

【讨论】：

【参考方案3】：

Naaff 的回答更详细：

将 BST 扁平化为排序列表是 O(N) 这只是对整个树的“按顺序”迭代。两者都做 O(n1+n2) 将两个排序列表合并为一个排序列表是 O(n1+n2)。保留指向两个列表头部的指针选择较小的头部并推进其指针这就是合并排序的合并工作原理从排序列表创建完美平衡的 BST 是 O(N) 请参阅下面的代码 sn-p 了解算法[1] 在我们的例子中，排序列表的大小为 n1+n2。所以 O(n1+n2) 生成的树将是二进制搜索列表的概念 BST

三步O(n1+n2)的结果是O(n1+n2)

对于相同数量级的n1和n2，这比O(n1 * log(n2))要好

[1] 从排序列表创建平衡 BST 的算法（在 Python 中）：

def create_balanced_search_tree(iterator, n):
    if n == 0:
        return None
    n_left = n//2
    n_right = n - 1 - n_left
    left = create_balanced_search_tree(iterator, n_left)
    node = iterator.next()
    right = create_balanced_search_tree(iterator, n_right)
    return 'left': left, 'node': node, 'right': right

【讨论】：

无法改进的证明草图：您需要考虑每个元素。在树 1 中的 2 个相邻值之间，可能会在树 2 中找到 0,1 个或更多值。仅查看 N1+N2 个元素已经花费了 O(N1+N2) 时间。 @MSalters：根据 OP，您可以就地修改一棵树。您不必查看正在修改的树的所有元素我很难理解创建平衡 BST 的最后一步是 O(N)。由于这里使用的数据结构是一个列表，在递归的每一级为 n 个元素找到“中间”的复杂性不是 n/2 吗？所以创建平衡 BST 的总复杂度是 n/2 log n，对吧？如果排序后的数据在一个数组中，我可以看到如何在 O(N) 中完成。但这里不是这样。我错过了什么？ @KarthikM：我的解释确实不太准确，现在将带有实际代码sn-p的算法添加到答案中。【参考方案4】：

乔纳森，

排序后，我们有一个长度为 n1+n2 的列表。用它构建二叉树需要 log(n1+n2) 时间。这与归并排序相同，只是在每个递归步骤中，我们不会像归并排序算法那样拥有 O(n1+n2) 项。所以时间复杂度是log(n1+n2)。

现在整个问题的复杂度是O(n1+n2)。

另外，如果两个列表大小相当，我会说这种方法很好。如果大小无法比较，那么最好将小树的每个节点都插入到大树中。这将花费 O(n1*log(n2)) 时间。例如，如果我们有两棵树，一棵大小为 10，另一棵大小为 1024。这里 n1+n2 = 1034 其中 n1log(n2) = 10*10 = 100。所以方法必须取决于两棵树的大小。

【讨论】：

我的意思是用排序列表构建一棵树的复杂度为 log(n1+n2)。现在整个问题的复杂度是O(n1+n2)【参考方案5】：

O(n1 * log(n2)) 是平均情况，即使我们有 2 将任何未排序的列表合并到 BST 中。我们没有利用列表是排序列表或 BST 的事实。

据我所知让我们假设一个 BST 有 n1 个元素，另一个有 n2 个元素。现在将一个 BST 转换为 O(n1) 中的排序数组列表 L1。

合并的 BST(BST, Array)

如果 (Array.size == 0) 返回 BST 如果（数组大小 ==1）在 BST 中插入元素。返回 BST；

在数组中找到左元素=BST.rootnode 的数组中的索引。 if(BST.rootNode.leftNode ==null ) //即没有左节点将 Index 到 0 的所有数组插入 BST 的左侧，然后别的合并 BST(BST.leftNode, Array0 to Index)

if(BST.rootNode.rightNode ==null)//即没有右节点将 Index 到 Array.size 的所有数组插入 BST 的右侧别的合并 BST(BST.rightNode, ArrayIndex to Array.size)

返回 BST。

此算法将花费

【讨论】：

【参考方案6】：