得到N个总和为M的随机数

Posted 2023-02-16

【中文标题】得到N个总和为M的随机数

【英文标题】：Getting N random numbers whose sum is M

【发布时间】：2011-02-08 01:31:18

【问题描述】：

我想得到 N 个随机数，总和是一个值。

例如，假设我想要 5 个总和为 1 的随机数。

那么，一个有效的可能性是：

0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

另一种可能是：

0.8 0.1 0.03 0.03 0.04

等等。我需要这个来为模糊 C 均值创建一个归属矩阵。

【问题讨论】：

Random numbers that add to 100: Matlab的可能重复

均匀分布？非负数？在 [0,1] 范围内？

【参考方案1】：

随机生成 N 个正数，总和为正数 M，其中每个可能的组合都具有相同的可能性：

生成 N 个指数分布的随机变量。生成这样一个数字的一​​种方法可以写成——

  number = -ln(1.0 - RNDU())

其中ln(x) 是x 的自然对数，RNDU() 是一种返回0 或更大且小于1 的统一随机变量的方法（例如，javascript 的Math.random()）。请注意，生成具有均匀分布的 N 个数字并不理想，因为会导致随机变量组合的有偏分布。但是，上面给出的实现有几个问题，例如being ill-conditioned at large values，因为分布的右尾，特别是当实现涉及浮点运算时。 another answer 中给出了另一种实现。

用这种方式生成的数字除以它们的总和。

将每个数字乘以 M。

结果是 N 个数字，其总和大约等于 M（由于舍入误差，我说“大约”）。另见***文章Dirichlet distribution。

这个问题也等价于generating random variates uniformly from an N-dimensional unit simplex的问题。

---

但是，为了获得更高的准确性（与使用浮点数的替代方案相比，这在实践中经常发生），您应该考虑生成n random integers that sum to an integer m * x，并将这些整数视为n 有理数的分子和分母x（假设m 是一个整数，则总和为m）。您可以将x 选择为一个较大的数字，例如 2³² 或 2⁶⁴ 或具有所需精度的其他数字。如果x 为0 且m 为整数，这解决了生成随机整数 的问题，其总和为m。

下面的伪代码展示了如何生成n 均匀随机整数大于 0 与给定的正和，以随机顺序。 （此算法在 Smith 和 Tromble，“Sampling Uniformly from the Unit Simplex”，2004 中提出。）在下面的伪代码中——

PositiveIntegersWithSum 方法以随机顺序返回大于 0 的整数 m， IntegersWithSum 方法以随机顺序返回 n 整数 0 或大于 m，并且 Sort(list) 按升序对list 中的项目进行排序（请注意，排序算法超出了此答案的范围）。

 

METHOD PositiveIntegersWithSum(n, m)
    if n <= 0 or total <=0: return error
    ls = [0]
    ret = NewList()
    while size(ls) < n
      c = RNDINTEXCRANGE(1, m)
      found = false
      for j in 1...size(ls)
        if ls[j] == c
          found = true
          break
        end
      end
      if found == false: AddItem(ls, c)
    end
    Sort(ls)
    AddItem(ls, total)
    for i in 1...size(ls): AddItem(ret,
        ls[i] - ls[i - 1])
    return ret
END METHOD

METHOD IntegersWithSum(n, total)
  if n <= 0 or total <=0: return error
  ret = PositiveIntegersWithSum(n, total + n)
  for i in 0...size(ret): ret[i] = ret[i] - 1
  return ret
END METHOD

这里，RNDINTEXCRANGE(a, b) 在区间 [a, b) 中返回一个统一的随机整数。

【参考方案2】：

简答：

只需生成 N 个随机数，计算它们的总和，然后将每个数除以 和乘以 M。

更长的答案：

上述解决方案不会产生均匀分布，这可能是一个问题，具体取决于这些随机数的用途。 Matti Virkkunen 提出的另一种方法：

在0和1之间生成N-1个随机数，将数字0和1相加 将它们自己添加到列表中，对它们进行排序，然后将它们的差异 相邻的数字。

这会产生均匀分布，如 here 所述

【讨论】：

然后乘以 M（除非 M 是 1，如示例中）。

这不是一个好的随机化，因为增加 N 会产生趋于零的方差

我想跳上“这个解决方案确实提供了分布良好的答案”的潮流

这是一个糟糕的答案。请参阅此答案，该答案使用漂亮的图表证明此解决方案不正确：***.com/a/8068956/88821

请看下面更准确的取差答案

【参考方案3】：

很遗憾，如果您想要统一随机数，这里的一些答案是不正确的。保证均匀随机数的最简单（在许多语言中也是最快的）解决方案只是

# This is Python, but most languages support the Dirichlet.
import numpy as np
np.random.dirichlet(np.ones(n))*m

其中n 是您要生成的随机数的数量，m 是结果数组的总和。这种方法产生正值，对于生成总和为 1（令 m = 1）的有效概率特别有用。

【讨论】：

我发现总和并不总是完美地加起来M，

【参考方案4】：

在 Java 中：

private static double[] randSum(int n, double m) 
    Random rand = new Random();
    double randNums[] = new double[n], sum = 0;

    for (int i = 0; i < randNums.length; i++) 
        randNums[i] = rand.nextDouble();
        sum += randNums[i];
    

    for (int i = 0; i < randNums.length; i++) 
        randNums[i] /= sum * m;
    

    return randNums;

【讨论】：

> 然后乘以 M（除非 M 像示例中那样为 1）。 – ILMTitan 4 月 14 日 18:49

randNums[i] /= sum * m; 等价于randNums[i] = randNums[i] / (sum * m);。这需要是randNums[i] = randNums[i] / sum * m;，以便操作顺序正确。

【参考方案5】：

只需生成 N 个随机数，计算它们的总和，然后将每个数除以 总和。

Expanding on Guillaume's accepted answer，这里有一个 Java 函数可以做到这一点。

public static double[] getRandDistArray(int n, double m)

    double randArray[] = new double[n];
    double sum = 0;

    // Generate n random numbers
    for (int i = 0; i < randArray.length; i++)
    
        randArray[i] = Math.random();
        sum += randArray[i];
    

    // Normalize sum to m
    for (int i = 0; i < randArray.length; i++)
    
        randArray[i] /= sum;
        randArray[i] *= m;
    
    return randArray;

在测试运行中，getRandDistArray(5, 1.0) 返回以下内容：

[0.38106150346121903, 0.18099632814238079, 0.17275044310377025, 0.01732932296660358, 0.24786240232602647]

【参考方案6】：

我认为值得注意的是the currently accepted answer并没有给出均匀分布：

"只需生成N个随机数， 计算它们的总和，将每一个除以 总和”

要了解这一点，让我们看一下 N=2 和 M=1 的情况。这是一个简单的情况，因为我们可以通过在 (0,1) 范围内均匀选择 x 来生成列表 [x,1-x]。 建议的解决方案生成一对 [x/(x+y), y/(x+y)]，其中 x 和 y 在 (0,1) 中是一致的。为了分析这一点，我们选择一些 z 使得 0

概率(x/(x+y)

我做了一些快速计算，似乎到目前为止唯一能导致均匀分布的解决方案是proposed by Matti Virkkunen：

“生成0到1之间的N-1个随机数，将数字0和1本身加入列表，排序，取相邻数字的差。”

【讨论】：

在你的例子中，x+y = 1 所以 P(\fracxx+y

@Apprentice Queue：请注意，我只是在分析上面文本中 0

我认为您的分析不正确，因为正常/均匀是指值的分布，当将范围除以常数时不会改变。如果原始分布是均匀的，则除以总和会产生一个均匀分布，该分布会加到总和上。正常情况下也是如此。

是的，提供的解决方案不提供均匀分布。因为您将约束应用于改变分布的均匀分布。因此，虽然 .1 .1 .1 .1 .1 对于原始分布来说是一个很好的生成，但在这个约束下，它不是。所以分布会改变。

我错过了什么吗？我知道接受的答案不提供 normal 分布，但它不提供 uniform 分布吗？统一不是意味着每个数字都是同样随机的，并且不会或多或少地更高或更低吗？ 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 加起来等于 1。这是一个均匀分布。如果您的目标数字是 57 而不是 1，则取 0.2s，除以 1，乘以 57...您得到 11.4 11.4 11.4 11.4 11.4，如果我错了，请纠正我，这也是均匀分布。人们一直在说“明显的例子”，但没有一个例子对我来说是显而易见的。

【参考方案7】：

生成 N-1 个随机数。 计算所述数字的总和。 将计算的总和与所需总和之间的差添加到集合中。

你现在有 N 个随机数，它们的总和就是期望的总和。

【讨论】：

除非你得到最后一个数字是负数。

【参考方案8】：

你在约束方面有点苗条。很多很多的程序都会起作用。

例如，数字是正态分布的吗？制服？ 我假设所有数字都必须是正数并且均匀分布在平均值 M/N 周围。

试试这个。

平均值 = M/N。 生成介于 0 和 2*mean 之间的 N-1 个值。这可以是一个介于 0 和 1 之间的标准数字，u，随机值是 (2*u-1)*mean 以创建适当范围内的值。 计算 N-1 个值的总和。 剩余值为 N-sum。 如果剩余值不符合约束条件（0 到 2*均值），请重复该过程。

【讨论】：

“剩余值”不是统一选择的，因为 (n-1) 个统一随机数之和不统一。

【参考方案9】：

在0和1之间生成N-1个随机数，将数字0和1本身加入列表，排序，取相邻数字的差。

【讨论】：

好吧，这太复杂了。如果有人想将其限制为整数，也许有用（显然使用大于 0 到 1 的范围）

我不保证我不完全理解的数学。

看起来这是迄今为止唯一能实现均匀分布的解决方案（除非我在验证时犯了错误，这总是可能的）。

@chovy：要获得“8 之间的 0”，请在算法中使用 8 而不是 1，并为 N 使用 3。它起作用的原因是，它就像取一段具有设定长度的字符串，在随机的地方标记它，然后在标记的地方切割它。你最终会得到 N 段字符串，它们必须加起来等于原始长度。

如果我的数字有下限，有没有办法做到这一点？数字必须大于 A。