为啥L=wxw^R| w, x 属于 a,b^+ 是正则语言

Posted 2023-02-25

【中文标题】为啥L=wxw^R| w, x 属于 a,b^+ 是正则语言

【英文标题】：Why L=wxw^R| w, x belongs to a,b^+ is a regular language为什么L=wxw^R| w, x 属于 a,b^+ 是正则语言

【发布时间】：2013-01-09 09:17:18

【问题描述】：

使用抽引引理，我们可以很容易地证明语言L1 = WcW^R|W ∈ a,b* 不是常规语言。 （字母表是a,b,c；W^R代表逆串W）

但是，如果我们将字符 c 替换为 "x"(x ∈ a,b+)，例如 L2 = WxW^R| x, W ∈ a,b^+，那么 L2 是一种常规语言。

你能给我一些想法吗？

【问题讨论】：

你到底想要什么？我建议你修改你的问题“你能给我一些想法吗？”更简洁和建设性的东西。

【参考方案1】：

语言中带有 |W| 的任何字符串> 1 可以解释为语言中的字符串，其中 |W| = 1。因此，如果字符串以相同的符号开头和结尾，则该字符串属于该语言。有两个符号：a 和 b。因此该语言等同于语言a(a+b)(a+b)*a + b(a+b)(a+b)*b。为了证明这一点，您应该形式化“如果 y 在 WxW 中，则 y 在 a(a+b)(a+b)*a + b(a+b)(a+b)*b 中；并且如果 y 在 a(a+b)(a+b)*a + b(a+b)(a+b)*b 中，则 y 在 WxW"中。

在另一种情况下它不起作用，因为 c 是一个固定符号，并且不能包含除了末尾的字符之外的所有字符。一旦您在示例中限制了“x”的长度，语言就会变得非常规。

【讨论】：

我原来的错误方法是-->我们一个特定的“x”，说x = abab，然后当我们应用pumping lemma时，结果是矛盾的。但这是一个错误的方法。我们不能指定任何字符串“x”并使用泵引理来证明它。

【参考方案2】：

如果我们将字符 c 替换为 x 其中 (x ∈ a,b⁺)，例如，L2 = WXW^R| x, W ∈ a,b⁺，则 L2 是正则语言。

是的，L2 是常规语言 :)。

_{L2也可以写正则表达式。}

语言 L2 = WXW^R| x, W ∈ a,b⁺ 表示：

字符串应该以任何由a和b组成的字符串开头，即W，并以反向字符串W^R结尾。 注意： 因为 W 和 W^R 是相反的，所以字符串以相同的符号 开始和结束（可以是 a 或 b） 并在中间包含a 和b 的任何字符串，即X。 （因为+，X的长度变得大于一|X| >= 1）

此类字符串的示例如下：

aabababa，如下：

   a    ababab    a  
  --   --------   --
   w     X        W^R  

也可以是：

bababbabb，如下：

   b    ababab    b
  --   --------   --
   w     X        W^R

查看W 的长度不是语言定义的约束。

所以任何字符串 WXW^R 可以假定等于 a(a + b)⁺a 或 b(a + b)⁺b

    a    (a + b)+   a
   ---   --------  ---
    W      X       W^R  

或

    b    (a + b)+   b
   ---   --------  ---
    W      X       W^R    

这种语言的正则表达式是：a(a + b)⁺a+b(a + b)⁺b

_{不要将WXW^R 与WCW^R 混用，它的X 与+ 使语言正常化。通过包含X 即(a + b)* 进行思考，我们可以对W 即a 和b 有有限选择（有限是常规）。}

语言WXW^R 可以说：如果以a 开头，以a 结尾，如果以b 开头，以b 结尾。所以相应地我们需要两个最终状态。

Q6 如果W 是a Q5 如果W 是b

IT 的 DFA 如下所示。

【讨论】：

绘制 DFA 见this answer 有点相似

这是否意味着我们不能只选择 x 字符串之一？正如你上面提到的例子，如果我们只选择 x = “ababab” 和 w = a^n，那么我们得到 wxw^R = (a^n)ababab(a^n)。但是，如果我们使用抽水引理，这个例子似乎失败了。这就是我感到困惑的部分。我们什么时候应该选择一个合适的带有抽引引理的例子。对于示例 wxw^R，我们无法修复 x，比如 x = 特定字符串，如果我们修复它，我们将无法通过抽引引理。

No W 只是单个符号 a 或 b

我知道我为什么感到困惑。我们仍然可以将泵引理应用到第二种语言中，例如 xy^(2)z = a^(n+|y|) baaba^(n)（我们随机选择 x=baab）。我们注意到 xy^(2)z 也 = a^(n) a^(|y|)baab a^(n)。这仍然是L语言，没有矛盾。以前，我把这误认为是矛盾的。这与我们是否修复 x 无关。无论我们从 x 中选择什么字符串，我们仍然可以得到属于语言 L 的字符串。谢谢@Grijesh :-)

@Patrick87 是的，抱歉我忘了添加两个循环。谢谢帕特里克！

【参考方案3】：

问题是 W ∈ a,b^+ ，所以 a^n(a+b)a^n 应该是 L2 语言。现在没有这样的 DFA 将接受字符串 a^n(a+b)a^n，因为在接受 n 个 a 和 (a+b)^+ 之后，dfa 无法准确记住如何一开始它接受了很多，所以 L2 不应该是常规的......但是我搜索这个答案的每个地方都说它是常规的......这让我很烦恼