计算垂直于由点和真北航向描述的平面的 3d 矢量

Posted 2023-02-23

【中文标题】计算垂直于由点和真北航向描述的平面的 3d 矢量

【英文标题】：Calculate 3d Vector perpendicular to plane described by a Point and True North Heading

【发布时间】：2009-04-02 01:36:15

【问题描述】：

我在地球表面有一个点，我将其转换为地球中心的向量。

我有一个以度数为单位的正北航向，用于描述该点在地球表面上的行进路径。

我需要计算一个向量，该向量垂直于该点沿地球表面的路径所创建的平面。

我尝试使用here 描述的方法计算沿路径的任意点 然后取两个向量的叉积，但它似乎不够准确，而且开销似乎比必要的要多。

这与我的另一篇帖子 ray-polygon-intersection-point-on-the-surface-of-a-sphere 有关。

【问题讨论】：

你能清除你的输入吗？ “表面上的点路径”意味着多个点，不是吗？以及如何指定北航向？一个角度，一个从该点指向北极的矢量，还是其他的东西？

如果将真北航向指定为矢量并且您的点位于表面上，则您已固定了一个平面。但是垂直于该平面的矢量与真正的北航向共线。我不确定你要计算什么。

我在 Lat,Lon 有一个点，我正在从地球中心转换为向量。我有一个以正北度数为单位的角度，它描述了地球表面上这一点将要经过的路径。我基本上需要能够将 Degrees North 转换为 3d 矢量，然后我可以完成剩下的工作。

【参考方案1】：

我假设您正在尝试计算一个矢量位于路径的平面中，而不是垂直于它（因为您已经有了一个 - 即从原点到你的观点）。

您首先需要计算位于该平面上的向量，该向量指向正北和正东。为此，我们将P 称为您的点，O 是原点，N = (0, 0, R) 是您球体顶部的点。那么

e = cross(N - P, P - O)

是一个指向正东的向量，并且与球体相切，因为它垂直于球体的半径P - O。

出于类似的原因

n = cross(e, P - O)

将指向正北，并与球体相切。

现在对 n 和 e 进行归一化处理，您就得到了切线空间的标准正交基。要找到方向theta 的向量（例如，从正东轴逆时针方向，以简化数学运算），只需取一点e 和一点n：

v = cos(theta) * e + sin(theta) * n

【讨论】：

我终于得到了相同的结论，无法更好地解释它。 +1

【参考方案2】：

这是我对您的问题的理解：

您在地球表面有一个点，指定为纬度/经度坐标 “真北”方向是一个人在该点通过最直接的可能路线到达（地理）北极的方向。也就是说，“真北矢量”在您选择的点与地球表面相切，并直接指向北方，平行于经线。 该点的运动方向将（最初）在您选择的点与地球表面相切。 您有一个相对于真北的角度（以度为单位），它指定了该点将要移动的方向。 此角度是“真北矢量”与点运动方向之间的夹角。 您想要计算一个向量，该向量在该点与地球表面相切，但垂直于该点的运动方向。

如果我理解正确的话，你可以这样做：

纬度lat，经度lng的“真北矢量”由

给出

[-sin(lat) * cos(lng), -sin(lat) * sin(lng), cos(lat)]

一个垂直于“真北向量”的向量，它指向一条纬线（向东），由

给出

[-sin(lng), cos(lng), 0]

由于这两个向量标识与地球表面相切的平面，并且指定点运动方向的向量也在该平面内，因此您的运动向量是前两个的线性组合：

[ -(sin(lat) * cos(lng) * cos(th) + sin(lng) * sin(th)) -(sin(lat) * sin(lng) * cos(th) - cos(lng) * sin(th)) cos(lat) * cos(th) ] 其中th 是您的航向角。

要找到垂直于该运动矢量的矢量，您只需取半径矢量的叉积（即从地球中心指向您的点的矢量，

[cos(lat) * cos(lng), cos(lat) * sin(lng), sin(lat)]

与运动向量。 （那个数学会很乱，最好让电脑处理）

【参考方案3】：

您已经有 2 个向量：

N = (0,0,1) 点从原点直接向上。

P = (a,b,c) 点从原点到您的点。

计算单位向量到你的点 U = P/|P|

计算垂直于 U 和 N 的单位向量 E = U X N

计算垂直于 U 和 E 的单位向量（这将与球体相切） T = U X E T 可以指向北或南，所以 如果 T.z

T 现在指向正北，并平行于在 P 处与球体相切的平面。

您现在有足够的信息来构造一个旋转矩阵 (R)，因此您可以围绕 U 旋转 T。您可以在 wikipedia 上找到如何制作一个围绕任意轴旋转的矩阵：

使用 R，您可以计算指向行进方向的向量。

A = RT

A 是您正在寻找的答案。