两个连通图的并集的属性，如果它们的交集不连通

Posted 2023-02-23

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【中文标题】两个连通图的并集的属性，如果它们的交集不连通【英文标题】：Properties of the union of two connected graphs, if their intersection is not connected 【发布时间】：2018-05-21 06:27:03 【问题描述】：

让G1=(V, E1)and G2=(V, E2)成为同一个顶点集V上的连通图有两个以上的顶点。如果G1∩G2=(V, E1∩E2)不是连通图，那么图G1∪G2=(V, E1∪E2)

a) 不能有切割顶点。

b)必须有一个循环

c)必须有一个前沿（桥）

d) 具有严格大于 G1 和 G2 的色数

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正确答案是选项（b）

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我的方法是：

问题是我得到了选项 a) 也更正了我选择图表的方式。所以，我如何确定在考试中要采用什么图表，这样我才能得到正确的答案，正如您在此处看到的正确答案是选项 b)，但我也得到了 a) 正确的答案。

【问题讨论】：

"...what Graph to take ..."：一个例子只能用来反驳某些东西（反例）。要证明所有图表都应该成立的东西，您需要另一种方法。问题是否指定边是否有向？这很重要。作为一种考试技巧，因为当你尝试时通常很容易找到反例 - 对于这样的多项选择，如果你可以假设一个答案是正确的，那么它可能更容易找到多项选择中除一个选项之外的所有选项的反例，并假设其余选项为真，而不是实际证明其中任何一个。 @Henry 那会是什么方法？在这种情况下，您可能会争论边数。你知道 G1 和 G2 是相连的，所以必须至少有一定数量的边（有多少？）。与 G2 相交的 G1 未连接，这告诉您 G1 和 G2 不能具有完全相同的边。现在，G1 union G2 必须比单独的每个图有更多的边，这给出了......（考虑一个图可以有多少边而不包含循环）。 【参考方案1】：

如果您的目标是通过反例来反驳，那么您可以从一个具有 3 个顶点的简单图开始。

这样的图满足G1和G2连通，交点不连通的要求。然而，工会只反驳了答案 c)。具体来说，工会

没有切割顶点，因此 a) 允许确实有一个循环，所以 b) 是允许没有切边，因此 c) 被消除色数为 3，而 G1 和 G2 色数为 2，因此 d)允许

下一步是认识到 d) 几乎肯定是错误的。原因：在不改变其色数的情况下向图中添加节点很容易。也就是说应该很容易找到G1和G2是三色的例子，而并集也是三色的。

因此，您只能选择 a) 或 b)。如果你猜 a) 是错误的，那么你需要找到一个图，它有一个割点，并且有一个环。如果你猜 b) 是错误的，那么你需要找到一个 not 有一个割点，并且 not 有一个环的图。

猜测 b) 是错误的有点问题，因为没有环的图是 tree 或 path，而树木和路径都充满了切割顶点。

所以下一步是想象一个具有切割顶点的图。我想到的第一个这样的图表是沙漏：

再一次，G1和G2是连通的，交叉口是不连通的。这一次，工会反驳了三个答案。具体来说，工会

确实有一个切割顶点，所以 a) 被消除确实有一个循环，所以 b) 是允许没有切边，因此 c) 被消除有色数 3，G1 和 G2 也有色数 3，所以 d) 被消去

请注意，我们还没有证明 b) 是正确的，只有 a) c) 和 d) 肯定是不正确的，所以 b) 是消除的答案。

【讨论】：

【参考方案2】：