使用矩阵求幂的线性递归[关闭]

Posted 2023-02-22

【中文标题】使用矩阵求幂的线性递归[关闭]

【英文标题】：Linear Recurrence Using matrix exponentiation [closed]

【发布时间】：2015-04-19 06:06:04

【问题描述】：

矩阵求幂可用于求解线性递归。 我知道如何解决线性重复，例如：

f(n) = f(n-k1) + f(n-k2) + ... + constant

但我找不到任何关于如何解决类似问题的信息

f(n) = f(n-k1) + f(n-k2) + ... + n^m

或

f(n) = f(n-k1) + f(n-k2) + ... + n*m

或

f(n) = f(n-k1) + f(n-k2) + ... + k^n IE。 涉及一个“n”项。

谁能给我提供任何链接或解释如何解决此类重复问题 或如何形成初始矩阵，其幂将用于解决递归。

【参考方案1】：

这是一个例子。假设f(n) = f(n-1) + f(n-2) + (n-1)^2。我们还有n^2 = (n-1)^2 + 2(n-1) + 1 和n = (n-1) + 1，它们为代数项提供线性递归。以矩阵形式，

|1 1 1 0 0| |f(n-1) |   | f(n) |
|1 0 0 0 0| |f(n-2) |   |f(n-1)|
|0 0 1 2 1| |(n-1)^2| = | n^2  | 
|0 0 0 1 1| | n-1   |   |  n   |
|0 0 0 0 1| |  1    |   |  1   |

重复左边的操作到n=2。

【讨论】：

第三行是不是不对。据此计算n^2 = f(n-2) + (n-1)^2 + n-1。应该是| 0 0 1 2 2 |.

第一行也应该是 | 1 1 1 2 1 |.我说的对吗？

谢谢，我会改正的。

我主要把recurrence改成f(n) = f(n-1) + f(n-2) + (n-1)^2。