给定一条射线和多边形，计算多边形内最大的圆，其中中心位于射线上，端点位于圆上

Posted 2023-02-22

【中文标题】给定一条射线和多边形，计算多边形内最大的圆，其中中心位于射线上，端点位于圆上

【英文标题】：Given a ray and polygon, compute largest circle inside polygon, where center lies on ray and endpoint is on circle

【发布时间】：2016-05-01 19:48:02

【问题描述】：

给定一个简单的多边形（不一定是凸的）和一条原点位于多边形内的射线，我想计算多边形中包含的最大圆，但要遵守以下约束：

圆的中心位于射线的某处。 射线的原点位于圆上。

是否有一种算法可以准确计算？近似值呢？

【问题讨论】：

如果光线的原点在圆上，另外一个点是圆心，则表示该光线的两个点在圆上，即两个点在圆上多边形，这意味着它不再相交，并且射线和多边形在同一个平面中，或者这两个点是同一个点。

@AlexandruBarbarosie 我编辑了这个问题，说光线的原点位于多边形内。这有意义吗？

我觉得图片更有意义。

我添加了一张图片；如果我误解了这个问题，请告诉我。我必须说它看起来像一道数学题，而不是编程题。您将一个点从其原点穿过射线，并计算到多边形所有边的距离，直到最短距离等于到原点的距离。

@m69 的图像完美地说明了事情。谢谢。

【参考方案1】：

令C为满足问题条件的圆集合（即圆心在射线上，射线的原点在圆上）。

考虑多边形的边e。然后：

C 中的圆圈都没有接触到e。在这种情况下，r(e) = ∞。 有一个最小的圆 c ∈ C 与 e 相接触（任何一个 e 都与 相切c，或者 e 的端点之一位于 c 上——你可以通过解决这些可能性找到 c）。在这种情况下，r(e) 是 c 的半径。

那么你想要的答案就是 min(r(e))。

更新 显然你不计算C（这个集合中有无限多个圆）。你要做的是找到接触每条边e的最小圆c（如果存在这样的圆）。对于每条边e，你计算三个候选c：一个与e相切，两个接触e，并选择最小的可行候选人。因此，如果有 n 个边，则最多考虑 3n 个圆。

【讨论】：

这两个步骤是有道理的，但我不确定如何计算 $C$。

查看更新：你不计算 C，这只是为了帮助解释。

现在说得通了。计算每条边的三个候选圆的数学似乎相对简单。

【参考方案2】：

（此答案适用于凸正多边形；我误解了术语“简单”多边形。）

圆的中心与射线的原点和多边形的一侧的距离相同。与一条线和一个点等距的点的集合是抛物线。

如果将 n 边多边形分成 n 个部分，则圆将接触多边形的边，该边与圆的中心点所在的扇区接壤。

因此，要找到中心点，请对光线通过的每个扇区执行此操作：

绘制由多边形边和射线原点定义的抛物线。 如果抛物线与扇形内的射线相交，则相交处就是圆的中心。

所以这实际上是为射线和抛物线创建方程并找到交点的问题。

（这只是一个速写，使用圆形而不是真正的抛物线；零件显然应该在线段的边缘相遇。）

【讨论】：

我了解第一段和最后一段，但不了解有关部门的部分。这似乎只适用于凸多边形。

哦，抱歉，我应该更清楚一点。我打算从此页面定义简单多边形：en.wikipedia.org/wiki/Simple_polygon.

@BmoreDaniel 我不知道“简单”的具体含义。不过，这可能是一种算法的基础，该算法也适用于更复杂的形状。

是的，我认为您提出的算法对于凸多边形当然应该更有效。