为具有相同结果的给定幂对计算不同项

Posted 2023-02-22

【中文标题】为具有相同结果的给定幂对计算不同项

【英文标题】：Computing different terms for a given pair of exponentiation having the same result

【发布时间】：2010-01-28 07:42:32

【问题描述】：

为了理解这个问题，让我们首先考虑这些例子：

                               4⁶ = (2²)⁶ = 2¹² = (2³)⁴ = 8⁴ = 16³ = 4096。

因此，我们可以说4⁶、2¹²、8⁴和16³ 相同。

                               27³ = 3⁹ = 19683

所以，27³ 和 3⁹ 是相同的。

现在的问题是，对于任何给定的 a^b 对，如何计算所有其他可能的（如果有的话）x^y 其中，a^b = x^y。我对算法感兴趣可以在 C/C++ 中高效实现。

例如：

如果输入是这样的：

4,6 所需输出：(2,12),(8,4)

8,4 所需输出：(2,12),(2,6)

27,3 所需输出：(3,9)

12,6 所需输出：(144,3),(1728,2)

7,5 所需输出：No duplicate possible

【问题讨论】：

这是作业吗？如果是这样，请指定并提供您的初始尝试

不，这不是家庭作业。我只是好奇地想解决它，正是我从另一个问题中得到了灵感。

你的a 总是一个主要的力量吗？你所有的例子都是。或者可以是6？

@AakashM：是的，它可以有任何价值。

【参考方案1】：

这主要是一道数学题。你可以提取一个数的所有质因数，你会得到一个质数及其指数的列表，即 216000 = 2⁶ * 3³ * 5 ³。然后取指数的 GCD：GCD(6,3,3) = 3。将指数除以 GCD 得到数字的最小根，2² * 3^{1 * 51 = 60。然后是 GCD 的因数 - 3 的因数是 1 和 3。有一种方法可以将数字表示为 GCD 的每个因数的整数幂。您可以将其表示为 (603)1 或 (601)3。}

编辑：修正数学错误。

【讨论】：

(12) 的 GCD 通常是 12。最小的根是 2^1。 12的因数是(1, 2, 3, 4, 6, 12)，所以可以表示为(2^1)^12 = 2^12, (2^2)^6 = 4^6, (2^3)^4 = 8^4

这可能很明显，但是如果您不首先计算结果数而直接在基上进行因式分解，则可以避免处理非常大的数：毕竟，它的因式分解的任何结果 GCD可以简单地包含在指数中，然后对于这个解决方案它恢复正常。简而言之;分解基数； GCD 因式分解的指数最小化基数，将基数因式分解的指数的 GCD 因数与输入指数的因式分解相结合，迭代所有可能的指数因式分解。

@Eamon Nerbonne：你能详细说明一下吗？

例如：144^4;分别分解基数和指数： (2^4*3^2)^(2^2); GCD 基数和提取公指数：((2^2*3^1)^2)^(2^2);将基数的共享指数重写为“官方”指数的一部分： (2^2*3^1)^(2*2^2) == 12^(2^3) ；现在只需列出指数的所有可能因素；即 1、2^1、2^2 和 2^3。这里的加速在于您避免处理大数字（当然直到最后可能的时刻），如果您接受 (12^8)^1 形式的输出，则不需要计算大数字完全没有。

【参考方案2】：

如果整数是您唯一感兴趣的东西，您可以开始从目标数中提取整数根，并检查结果是否为整数。

你甚至有一个方便的停止条件——只要根低于 2，你就可以停止。也就是算法：

给出结果 N 计算第 N 个根。 如果是整数：添加到答案中 如果是 N += 1，返回上一步

此算法将始终终止。

【讨论】：

这样做太天真了。如何在不计算 a^b 的情况下做到这一点？

我认为这个解决方案一点也不幼稚。事实上，我认为如果只使用整数算术（而不是暗示的浮点数）来实现，这个解决方案会很好用。

@Dietrich Epp：那你能不能提一下，我们如何避免这里的浮点计算？

所以子问题是：对于整数 N 和 X，确定 X 是否有整数 N 次根，如果有，计算它。例如，您可以使用二分算法来找到答案。从 1 和 X 的最粗略界限开始，您可以计算（估计）^N 幂并查看它是否小于、等于或大于 X，并根据该比较调整界限。

@Dietrich Epp：我不明白你为什么不屑一顾我的回答并称赞这个，因为除了向上而不是向下计数循环的问题之外，它们是相同的。

【参考方案3】：

我相信这个问题等价于Integer factorization问题。

我这么说是因为我们可以将任何合数转换为素数的唯一乘积 （参见Fundamental theorem of arithmetic），然后开始创建因子和幂的组合。

更新： 例如：4⁶

我们将其转换为素数的幂，所以我们有 2¹²。 现在我们以指数方式增加底数，我们有：4⁶, 8⁴ ...直到指数变为 1。

【讨论】：

我知道整数分解。谢谢 :) 你能解释一下吗：then start creating combinations with the factors and the powers. ？

【参考方案4】：

有意义的最小底数是 2。另外，有意义的最小指数是 2。

根据结果，您可以确定可能的最大指数。

示例：4096 = 2^12，最大指数为 12。

这也适用于不是 2 的幂的结果：19683 比 2^14 稍大，因此您不会看到任何大于 14 的指数。

现在您可以将您的数字从最高指数向下推至 2（最小指数）。对于每个试验指数 exp，取结果的 exp-th 根；如果结果是一个干净的整数，那么您已经找到了一种解决方案。

您可以使用对数来计算结果的 log2，并取数字的 n 次方根。但是您需要注意舍入错误。

这种方法的优点是，一旦你设置好了，你就可以运行一个简单的循环，一旦完成，你就会得到所有的结果。

【讨论】：

我认为使用浮点数来解决数论中涉及整数的问题是错误的。如果输入足够大，任何使用浮点的算法都会彻底失败（给出不正确的结果），在这种情况下，无法区分舍入误差和负结果。

那么为什么你删除了你的其他解决方案？我没明白你在step 2 中的意思？！！

@Dietrich：如果您知道要注意舍入错误，则可以通过 (a) 舍入和 (b) 使用整数数学检查结果来避免该问题。我同意基于素数分解的解决方案会更有效；这只是一种替代解决方案。

@nthrgeek：我的另一个答案是质数分解方法，但解释得不好。其他的更好，所以我决定删除而不是详细说明。

【参考方案5】：

我终于自己解决了。使用简单的整数分解算法，我的解决方案看起来像this。可以使用Pollard's rho algorithm进一步优化

编辑：代码更新，现在它可以处理复合基础。如果它也有某些其他错误，请指出:)

【讨论】：

我没有投票，所以我只是猜测否决票是因为您没有将任何答案归功于您。例如，Dietrich Epp 描述了完全正确的答案。 Eli Bendersky 还展示了如何避免整数分解。您的回答听起来好像对您没有帮助。

@abc：你检查我的解决方案了吗？没有冒犯他人，但现在还没有使用这里所说的内容。

您的程序看起来不正确。它只使用第一个素数的指数。您是否使用复合基础测试过您的程序？像 (12, 6) 这样的情况的输出是什么？