交换两个序列的元素，使得元素和的差异变得最小。

Posted 2023-02-22

【中文标题】交换两个序列的元素，使得元素和的差异变得最小。

【英文标题】：Swap the elements of two sequences, such that the difference of the element-sums gets minimal.

【发布时间】：2012-01-28 19:29:00

【问题描述】：

面试题：

给定两个无序整数序列a和b，它们的大小为n，所有 数字随机选择：交换a和b的元素，使得a的元素之和减去b的元素之和最小。

举个例子：

a = [ 5 1 3 ]
b = [ 2 4 9 ]

结果是 (1 + 2 + 3) - (4 + 5 + 9) = -12。

我的算法：将它们排序在一起，然后将第一个最小的 n 整数放入 a 并留在 b 中。它在时间上是 O(n lg n)，在空间上是 O(n)。我不知道如何将其改进为时间 O(n) 和空间 O(1) 的算法。 O(1) 意味着我们不需要更多额外的空间，除了 seq 1 和 2 本身。

有什么想法吗？

另一个问题是：如果我们需要最小化差异的绝对值（最小化|sum(a) - sum(b)|）怎么办？

Python 或 C++ 思维者优先。

【问题讨论】：

听起来像是功课。如果是这样，请相应地标记。

如果考虑原始的 a 和 b 列表，它在空间中不可能是 O(1)。如果您不考虑它们，则只需直接交换值。无论哪种情况，请在问题中提供更多详细信息。

@GaretJax，如何在 O(n) 时间内高效地进行交换？

只需对单个元素使用单个临时变量（O(1) 空间）并遍历列表（O(n) 时间）。

-1 “交换 a 和 b 的元素”非常模糊——我在答案中发现了大约 2.01 种对此的理解。

【参考方案1】：

修改后的解决方案：

合并两个列表 x = merge(a,b)。

计算 x 的中位数（复杂度 O(n) 见http://en.wikipedia.org/wiki/Selection_algorithm）

在 a 和 b 之间使用这个中值交换元素。即在a中找到一个小于中位数的元素，在b中找到一个大于中位数的元素并交换它们

最终复杂度：O(n)

最小化绝对差是NP完全的，因为它等价于背包问题。

【讨论】：

您能解释一下等效性吗？我似乎很清楚，OP 的排序解决方案并将最小值放入 a 将最小化 sum(a)-sum(b)：我错过了什么？

你说的是第二部分（最小化绝对值）还是两者兼而有之？因为我认为它不适用于第一个，所以要获得最大的负差，将 n/2 最低的数字放在一个列表中，将 n/2 最高的数字放在另一个列表中，正如 OP 所说。

@DSM 我以为你在计算绝对最小值。如果只是最低限度使用新的解决方案。无需排序:)

对于中位数，您必须对 x 进行排序！如果你对 x 进行排序，复杂度不是 O(n)。

@ChristianAmmer 可以在 O(n) 中找到中位数。见：en.wikipedia.org/wiki/Selection_algorithm

【参考方案2】：

我想到的是以下算法大纲：

C = A v B 对 C 的 #A（A 的数量）元素进行部分排序 从 C 中前 #A 元素的总和中减去 C 中最后 #B 元素的总和。

您应该注意到，您不需要对所有元素进行排序，只需找到 A 最小元素的数量即可。你给出的例子：

C = 5, 1, 3, 2, 4, 9 C = 1、2、3、5、4、9 (1 + 2 + 3) - (5 + 4 + 9) = -12

C++ 解决方案：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

int main()

    // Initialize 'a' and 'b'
    int ai[] =  5, 1, 3 ;
    int bi[] =  2, 4, 9 ;
    std::vector<int> a(ai, ai + 3);
    std::vector<int> b(bi, bi + 3);

    // 'c' = 'a' merged with 'b'
    std::vector<int> c;
    c.insert(c.end(), a.begin(), a.end());
    c.insert(c.end(), b.begin(), b.end());

    // partitially sort #a elements of 'c'
    std::partial_sort(c.begin(), c.begin() + a.size(), c.end());

    // build the difference
    int result = 0;
    for (auto cit = c.begin(); cit != c.end(); ++cit)
        result += (cit < c.begin() + a.size()) ? (*cit) : -(*cit);

    // print result (and it's -12)
    std::cout << result << std::endl;

【讨论】：

如果我们想要最优解（即 N/2 个最小值），那不是 O(N)，而是 O(N log N/2)。

@Voo：你是对的，但是否存在 O(N) 算法——我想不出任何算法？而且我认为中位数的解决方案也不是 O(N)，为了获得中位数，必须对序列进行排序，否则你是从中间挑选一个随机元素（或者我错了）？

哦，我同意 O(N log N/2) 似乎是最好的解决方案。毕竟我们需要 N/2 个最小值，我真的不知道在 O(N) 中这怎么可能。