来自两个排序数组的最大对数

Posted 2023-02-22

【中文标题】来自两个排序数组的最大对数

【英文标题】：Maximum number of pairs from two sorted arrays

【发布时间】：2011-10-31 17:13:12

【问题描述】：

这不是原始问题。我有一个复杂的问题，现在简化为：

有两个排序数组，A 和 B，分别带有 m 和 n 元素，m = \Theta(n) 在o(mn) 时间运行的算法能否找到最大对数，使得A[i]-B[j] <= T 其中 T 是某个常数？如何才能做到这一点？

编辑：

这些对应该是不相交的，即一个元素最多只能选择一次。

算法应该在 little-o(mn) 中运行，这意味着在 mn 时间内运行的解决方案是不可接受的。

是否也可以找到我们选择的对？

澄清：

如果数组是a_1, a_2, ..., a_m 和b_1, b_2, ..., b_n，我需要找到对(a_i, b_j) 这样|a_i - b_j| <= T。不允许多次选择一个元素。我们如何最大化给定数组的对数？

【问题讨论】：

以前从未见过 little-O：en.wikipedia.org/wiki/…。 Wiki 说o(mn) 意味着复杂性由mn 主导，这意味着mn 时间是 可以接受的，m+n 是不 可以接受的。请澄清。

@MooingDuck：不，右边有一个 epsilon 因子 - 这意味着它必须比 mn 运行快。跨度>

@AasmundEldhuset：我重读了这篇文章。我又错了。你是对的。

@MooingDuck 你能详细说明怎么做吗？

没关系，新的说明有一个绝对值，这意味着这个页面上的每个答案（截至目前）都是不正确的。

【参考方案1】：

更新 2：

更新的问题（仅使用任一数组中的元素一次，获取对，并且值的绝对差必须低于T）可能可以在O（n + m）中完成 时间。我还没有充分考虑下面的算法来决定它是否总是能获得最大的对数，但在大多数情况下应该：

int i = 0;
int j = 0; 

while(i < A.length)
    while(j < B.length)
        if(A[i]-B[j] <= T)
            if(A[i]-B[j] >= -1 * T)
                addPair(i, j);
                j++;//don't consider this value the next time
            
            break;
         
        j++;
    
    i++;

【讨论】：

这可以从 B 中多次选择一个元素。此外，不能保证它会选择最大的对集合。

问题的最新更新说|a_i - b_j| <= T，添加了一个绝对值。

@PulkitGoyal：实际上，因为 i 和 j 都不会减少，所以它永远不会多次使用 A 或 B 中的任何元素。

@MooingDuck 啊！抱歉，是我的错。但它仍然不适用于差异的绝对值。例如，考虑以下数组：20,30 和 35,70 和 T=10。该算法不会选择任何对。但是，最好选择 (30,35) 对。

@PulkitGoyal：我想知道我怎么从来没有注意到这段代码中的错误。没错，正确的答案稍微复杂一些。

【参考方案2】：

在O(n lg n) = O(m lg m)中：从A的元素创建平衡二叉搜索树，并在每个节点中存储元素的索引和元素值。对于B 的每个元素，搜索小于或等于B[j] + T 的最大值。这个数字的索引会告诉你有多少数字小于或等于这个数字。

【讨论】：

“创建平衡的二叉搜索树” - 这本身不需要时间吗？

我正在寻找不同的对，这意味着一个数字一旦被选中就不能再次被选中。

@GigaWatt：是的，但只有O(n lg n)。

@AasmundEldhuset 我不明白这将如何产生正确数量的对，因为它可以多次使用一个元素。

【参考方案3】：

如果您想要匹配|A[i]-B[j]| <= T 的对数，其中每个A[i] 和B[j] 在所有对中仅使用一次：

int lastB = 0;
int result=0;
for(int a = 0; a<A.size(); ++a) 
    const int minB = A[a] - T;  
    while(lastB<B.size() && B[lastB] < minB)
        ++lastB;
    const int maxB = A[a] + T;
    if (lastB<B.size() && B[lastB] > minB) 
        ++lastB;
        ++result;
    

return result;

此算法扫描B 中的最小范围，并确保B 中的任何元素都不会被使用两次。

【讨论】：

您的解决方案总是找到我可以使用 A_max 作为第一个元素获得的最大对数。但我需要元素是不同的。这意味着一旦你从一个数组中选择了一个元素，你就不能再选择它了。

由于所有其他元素都小于A_max，并且结果我从不返回超过A_max，因此您会发现无论如何这都会返回正确的数字。

我看不出它如何返回正确的结果。例如考虑以下数组：1, 2, 3, 1000 和 999, 1000, 1001, 1002 以及阈值 5。如果我正确理解您的算法，它将返回对数为 4，而这里只有一对是可能的。

它将返回 4，原始问题有 4 个。 (1,999) (2,1000) (3,1001) (1000,1002) 等式是A[i]-B[j] <= T，2-1000<=5 绝对正确。我刚刚注意到你的编辑 now 显示了一个绝对值，在这种情况下这个算法是有缺陷的。然后使用 Briguy37 的答案，它是下一个最快的。

@PulkitGoyal：在发现 Briguy37 有一个（主要）错误后，我用他的算法的固定版本替换了我的答案。