无向图的连通分量

Posted 2023-02-22

【中文标题】无向图的连通分量

【英文标题】：Connected components of undirected graph

【发布时间】：2015-02-21 11:08:35

【问题描述】：

假设我有一个带有顶点 v1...vn 和边的无向图 G。现在它处于邻接表表示中。

对于每个时刻 a 都有一些此时“活动”的顶点子集作为输入。我需要在那个时间点找到这个顶点子集中的所有连接组件。

现在我已经使用联合查找数据结构实现了这一点，如下所示：

initialize sets for every active vertex so that every vertex has itself as "representative" (also called "parent")

for every active vertex v
   for all neighbours of v in G v_neighbour
      if v_neighbour is active
          union set of v and set of v_neighbour

应该没问题，但我想知道是否有更优化的方法？ 该算法的运行时间是多少？ O(N*M)?

【参考方案1】：

BFS 或 DFS 在连接组件耗尽后重新启动，可以在O(V+E) 的无向图中轻松找到所有连接组件

connectedComponentNumber= 0
While there is a node that was not discovered yet:
    connectedComponentNumber= connectedComponentNumber+ 1
    v = some vertex that was not discovered yet
    vertices = BFS(v) //all vertices connected to v
    set all nodes in vertices as belong to connected component connectedComponentNumber

【讨论】：

是的，谢谢你的建议。我现在正在实施迭代 DFS。它应该渐近更快。但我想强调一点，另一位程序员使用了某种带有递归的 DFS（虽然不是很优化），它比我的实现差得多。但我认为非递归优化版本应该可以正常工作。

@user1685095 递归与否，它是线性时间。无论您使用操作系统堆栈还是自定义堆栈数据结构，在实践中都应该没有真正的区别。也许该实现还有另一个问题，例如如何表示访问的顶点集或图本身。

【参考方案2】：

我想在上面的回复中添加一件事，如果您在邻接表表示中找到活动顶点，它将增加 V 步数，因此运行时间将增加到 O(V^3)。这可能需要恒定时间如果我们为此维护另一个数据结构。