有效地在矩阵中找到其元素总和为目标数的路径？ [关闭]

Posted 2023-02-22

【中文标题】有效地在矩阵中找到其元素总和为目标数的路径？ [关闭]

【英文标题】：Efficiently finding a path in a matrix whose elements sum to a target number? [closed]

【发布时间】：2019-06-19 17:29:31

【问题描述】：

编程问题

输入： m x n 严格正数矩阵，目标数 T。

输出： 从入口 (0,0) 开始并在底行结束的简单路径。我们只能在任何给定步骤向右或向下移动。此外，路径元素的总和必须恰好为 T。没有额外的约束。

我已经实施了正确的蛮力解决方案，但我们谈论的是指数时间。是否存在更有效的解决方案（可能使用动态规划）？

我看到了一个类似的现有问题，但答案有限，有人声称这个问题是 NP-Complete，但我无法验证这一点： Finding a path whose elements sum up to a given number in a matrix

【问题讨论】：

这些路径是否允许重用网格单元？

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"是否存在更有效的解决方案" 不，这是一个非常明显的 NP 完全问题。子集和很容易减少到它。取一组数字。创建一个 2×2N 的矩阵，将零放在左列，将集合中的交替零和数字放在右列。如果你能找到一条总和为 T 的路径，你就能找到一个总和为 T 的子集。

这个问题与您链接的问题有何不同？为了澄清答案，也许更好地评论答案。

@CharlesDupont 首先请更新您的问题，您只能向右和向下移动。这个非常重要。其次，如果我们在谈论一些效率，请为我们提供对n、m 和T 的一些限制。

【参考方案1】：

如果你只能像你在Efficiently finding a path in a matrix whose elements sum to a target number? 所说的那样向下或向右移动，那么O(nmT) 有一个解决方案：

// let a be given matrix
// d is 3-dimensional matrix: d[X-position][Y-position][sum]
vector<vector<vector<bool>>> d(n, vector<vector<bool>(m, vector<bool>(T + 1, false)));

// initialize dynamics
if (a[0][0] < T) 
    d[0][0][a[0][0]] = true;


// calcualte dynamics
for (int i = 0; i < n; i++)
    for (int j = 0; j < m; j++) 
        if (i == 0 && j == 0)   // already calculated
            continue;
        
        for (int k = 0; k <= T; k++) 
            bool isPossible = false;
            int prevSum = k - a[i][j];
            if (i > 0 && prevSum >= 0)
                isPossible |= d[i - 1][j][prevSum];  // step down
            if (j > 0 && prevSum >= 0)
                isPossible |= d[i][j - 1][prevSum];  // step right
            d[i][j][k] = isPossible;
    

如果每个i 的d[n][i][T] 之一是true（遍历底行），则路径存在，否则不存在。

恢复路径也不是那么难，如果d[i - 1][j][sum - a[i][j]]为真（或i为0）则向上，否则离开。

UPD。这种方法不适用于负数。

UPD2。如果有人告诉如何初始化已知大小的 n 维向量，那就太好了。