三重嵌套循环中的这条语句执行多少次？

Posted 2023-02-22

【中文标题】三重嵌套循环中的这条语句执行多少次？

【英文标题】：How many times does this statement in a triply-nested loop execute?

【发布时间】：2013-10-07 07:16:43

【问题描述】：

这是我的问题

for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=i;j++)
        for(k=1;k<=j;k++)
            x++;

现在，我想知道语句 x++;多少次迭代？ 我想知道解的公式。

【问题讨论】：

先搞清楚二维情况。

这是单纯形的体积，不是吗？

【参考方案1】：

您正在寻找以下总和的值：

  Sum(i from 1 to n)
      Sum (j from 1 to i)
          Sum (k from 1 to j)
              1

由内而外的工作：

  Sum(i from 1 to n)
      Sum (j from 1 to i)
          Sum (k from 1 to j)
              1
= Sum(i from 1 to n)
      Sum (j from 1 to i)
          j

= Sum(i from 1 to n)
      i(i + 1) / 2

从这里，我们得到

sum (i from 1 to n) i(i + 1) / 2

= (1/2) sum (i from 1 to n) (i² + i)

= (1/2) (sum (i from 1 to n)i² + sum (i from 1 to n) i)

= (1/2) (n(n + 1)(2n + 1) / 6 + n(n + 1) / 2)

然后，您可以尝试简化该多项式以获得干净、精确的值。如果您只需要渐近上限，则为 Θ(n³)。

根据Wolfram Alpha，这是

n³ / 6 + n² / 2 + n / 3

希望这会有所帮助！

【讨论】：

+1 得到与我相同的答案！ :) 也许你应该添加一个更封闭的形式：n(n+1)(2n+4)/12。