使用动态规划计算二项式系数

Posted 2023-02-22

【中文标题】使用动态规划计算二项式系数

【英文标题】：Calculating Binomial coefficients using dynamic programming

【发布时间】：2017-12-15 16:47:23

【问题描述】：

我写这段代码是为了找到二项式系数_nC_k:

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int c[20][20];
void initialize()

    for(int i=0;i<20;i++) 
        for(int j=i;j<20;j++)
            c[i][j]=-1;

int binomCoeff(int n,int k)

    if(k==0||k==n) return 1;
    if(c[n][k]!=-1)
        return c[n][k];
    return c[n][k] =  binomCoeff(n-1,k-1) + binomCoeff(n-1,k);


int main()

    initialize();
    cout<<binomCoeff(4,2)<<endl;

我是动态编程的新手，所以找不到错误。

【问题讨论】：

你有任何错误信息吗？

【参考方案1】：

您正在使用 k（小于或等于 n）的第二个索引，但只初始化更大的索引

for(int j=  0  ;j<20;j++)
or
for(int j=  0  ;   j <= i  ;j++)

请注意，在逐步调试过程中会发现此错误。为什么你忽略了这种方法？

附：这里使用的方法是memoization - “自上而下”的动态规划。您还可以实现“自下而上”的动态规划作为练习 - 按顺序填写表格并获取最后一个单元格结果。

【讨论】：

自下而上的 DP 解决方案可以在以下位置找到：geeksforgeeks.org/…

【参考方案2】：

这是一个示例代码，它显示了自上而下和自下而上 DP 的使用。 （为打印目的选择了较小的 DP 表尺寸 (V=8)，建议使用更大的表尺寸。）

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

#define V 8
int memo[V][V]; //DP table

int min(int a, int b) return (a < b) ? a : b;

void print_table(int memo[V][V])

    for (int i = 0; i < V; ++i)
    
        for (int j = 0; j < V; ++j)
        
            printf(" %2d", memo[i][j]);
        
        printf("\n");
    


int binomial_coeffs1(int n, int k)

    // top-down DP
    if (k == 0 || k == n) return 1;
    if (memo[n][k] != -1) return memo[n][k];
    return memo[n][k] = binomial_coeffs1(n-1, k-1) + binomial_coeffs1(n-1, k);


int binomial_coeffs2(int n, int k)

    // bottom-up DP
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
    
        for (int j = 0; j <= min(i, k); ++j)
        
            if (j == 0 || j == i)
            
                memo[i][j] = 1;
            
            else
            
                memo[i][j] = memo[i-1][j-1] + memo[i-1][j]; 
            
        
    
    return memo[n][k];



int main()

    int n = 5, k = 2;

    printf("Top-down DP:\n");
    memset(memo, -1, sizeof(memo));
    int nCk1 = binomial_coeffs1(n, k);
    print_table(memo);
    printf("C(n=%d, k=%d): %d\n", n, k, nCk1);

    printf("Bottom-up DP:\n");
    memset(memo, -1, sizeof(memo));
    int nCk2 = binomial_coeffs2(n, k);
    print_table(memo);
    printf("C(n=%d, k=%d): %d\n", n, k, nCk2);

    return 0;

上面的代码是基于对具有重叠子问题的二项式系数的递归：

C(n,0) = C(n,n) = 1
C(n,k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

上面的代码可以编译如下：

>>> g++ <filename>.cpp --std=c++11 -Wall -o test
>>> ./test