String S 中需要更改的最小字符数的算法

Posted 2023-02-22

【中文标题】String S 中需要更改的最小字符数的算法

【英文标题】：Algorithm for minimum number of characters that need to be changed in String S

【发布时间】：2018-08-28 06:39:02

【问题描述】：

几天前我遇到了一个编程挑战，现在已经结束。问题说给定一个小写英文字母的字符串 S，找到字符串 S 中需要更改的最小字符数，以便它包含给定的单词 W 作为 S 中的子字符串。

同样在下一行，按升序打印需要更改的字符位置。由于可以有多个输出，所以找到第一个字符变化最小的位置。

我尝试使用 LCS，但只能获取需要更改的字符数。如何找到角色的位置？ 我可能遗漏了什么，请帮忙。可能是其他一些算法来解决它。

【问题讨论】：

您可以删除或添加字符，对吗？

我无法删除字符。我只能替换现有的字符。例如，如果字符串 S= "itisworstcap" 和单词 W= "worldcup"，则 count =3 并且要更改的字符位置为 8 9 11

在您的示例中，您添加了字符，不是吗？

@OlivierMelançon 要将worstcap 更改为worldcup，请将s 更改为l，将t 更改为d，并将a 更改为u。没有添加或删除字母。

替换“s”->“l”、“t”->“d”、“a”->“u”。这些替换使字符串 S = "itisworldcup"

【参考方案1】：

显而易见的解决方案是将参考词W 移动到输入字符串S 上并计算差异。但是，对于非常长的字符串，这将变得低效。那么，我们该如何改进呢？

我们的想法是将搜索定位在S 中很可能与W 很好匹配的位置。找到这些点是关键部分。如果不执行朴素算法，我们就无法既有效又准确地找到它们。因此，我们使用启发式H，它为我们必须执行的更改数量提供了一个下限。我们为S 的每个位置计算这个下限。然后，我们从最低H 的位置开始，检查该位置S 和W 的实际差异。如果下一个更高的H 高于当前的差值，我们已经完成了。如果不是，我们检查下一个位置。算法的概要如下：

input:
    W of length LW
    S of length LS

H := list of length LS - LW + 1 with tuples [index, mincost]
for i from 0 to LS - LW
    H(i) = [i, calculate Heuristic for S[i .. i + LW]]
order H by mincost
actualcost = infinity
nextEntryInH = 0
while actualcost >= H[nextEntryInH].minCost && nextEntryInH < length(H)
    calculate actual cost for S[H[nextEntryInH].index .. + LW]
    update actualcost if we found a lesser cost or equal cost with an earlier difference
    nextEntryInH++

现在，回到启发式。我们需要找到一些东西，让我们能够近似给定位置的差异（并且我们需要保证它是一个下限），同时易于计算。由于我们的字母表是有限的，我们可以使用字母的直方图来做到这一点。因此，让我们假设来自 cmets 的示例：W = worldcup，而我们感兴趣的S 部分是worstcap。这两部分的直方图是（省略不出现的字母）：

         a c d l o p r s t u w
worldcup 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1  
worstcap 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 
------------------------------
abs diff 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0  (sum = 6)

我们可以看到，绝对差总和的一半是我们需要更改的字母数量的适当下限（因为每个字母更改都会使总和减少 2）。在这种情况下，界限甚至更紧，因为总和等于实际成本。但是，我们的启发式方法不考虑字母顺序。但归根结底，这就是它可以有效计算的原因。

好的，我们的启发式是直方图的绝对差之和。现在，我们怎样才能有效地计算呢？幸运的是，我们可以逐步计算直方图和总和。我们从位置 0 开始计算完整的直方图和绝对差的总和（请注意，W 的直方图在整个运行时的其余时间都不会改变）。有了这些信息，我们已经可以设置H(0)了。

要计算H 的其余部分，我们将窗口滑过S。当我们将窗口向右滑动一个字母时，我们只需要更新我们的直方图并稍微求和：我们的窗口中恰好有一个新字母（添加到直方图中）并且一个字母离开了窗口（从直方图中删除） .对于两个（或一个）对应的字母，计算绝对差之和的结果变化并更新它。然后，相应地设置H。

使用这种方法，我们可以在线性时间内计算整个字符串S 的启发式算法。启发式给我们一个指示，我们应该在哪里寻找匹配。一旦我们有了它，我们将继续执行此答案开头概述的剩余算法（在启发式较低的地方开始准确的成本计算，并继续直到实际成本超过下一个更高的启发式值）。

【参考方案2】：

LCS（= 最长公共子序列）将不起作用，因为 W 和 S 中的公共字母需要有匹配的位置。 因为您只能更新，不能删除/插入。

如果允许您删除/插入，则可以使用 Levenshtein 距离： https://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein_distance

在您的情况下，一个明显的暴力解决方案是在每个位置将 W 与 S 匹配，复杂度为 O(N*M)（S 的 N 大小，W 的 M 大小）