删除边后，是不是有一种有效的方法可以在生成树图中查找组件的大小？

Posted 2023-02-22

【中文标题】删除边后，是不是有一种有效的方法可以在生成树图中查找组件的大小？

【英文标题】：Is there an efficient way to find the sizes of components in a spanning tree graph after removing an edge?删除边后，是否有一种有效的方法可以在生成树图中查找组件的大小？

【发布时间】：2020-09-12 16:50:57

【问题描述】：

我的任务是在具有N 节点的生成树图中有效地处理Q 查询。

每个查询都引用我需要处理的一条边，并且我应该输出图中删除该边后剩余的两个组件中的每一个的大小。

我目前的想法是从由该边缘连接的两个节点启动 DFS，确保 DFS 永远不会遍历边缘本身。这样，我将能够在O(N) 时间内找到两个组件的大小，总复杂度为O(Q * N)。

但是，我认为可以进行某种预处理以进一步降低解决方案的时间复杂度，但我就是想不出那可能是什么。有人可以指出我正确的方向吗？

【参考方案1】：

嗯，这是我刚刚想出的一个策略：

首先，找到度数正好为1 的任何节点（保证存在于生成树图中；它被称为“叶”）。从该节点运行 DFS，保留一个变量 count，表示到目前为止已访问的节点数。每次遍历一条边时，由于树的特殊属性，通过删除该边形成的两个组件的大小必须等于 count 和 N - count（具体来说，任何一对节点之间只有一条路径）。这会产生一个具有O(N) 预处理和O(1) 查询回答的算法，总时间复杂度为O(N + Q)。

【讨论】：

工作正常。事实上，你可以在任何你喜欢的地方扎根树。