我应该如何在没有反复试验的情况下解决这个递归

Posted 2023-02-22

【中文标题】我应该如何在没有反复试验的情况下解决这个递归

【英文标题】：How should I go about solving this recursion without trial and error

【发布时间】：2015-10-13 06:54:36

【问题描述】：

int sum_down(int x)

    if (x >= 0)
    
        x = x - 1;
        int y = x + sum_down(x);
        return y + sum_down(x);
    
    else
    
        return 1;
    

参数x的这个最小整数值是多少，所以返回值大于1.000.000？

现在我只是通过反复试验来做到这一点，因为这个问题是通过纸质格式提出的。我认为我没有足够的时间进行反复试验。问题是，你们如何快速将其可视化以便可以轻松解决。谢谢大家，我是编程新手，所以提前感谢！

【问题讨论】：

答案是 19。而且，对我来说，这个问题应该问到Maths Stack...

我真的不明白这个问题。而且我不明白赞成票......这是一个如何解决重复问题的数学问题吗？你只是想要答案吗？你想知道其他人会如何处理它吗？就我个人而言，我会将其包装在一个循环中并在结果为 >1'000'000 时中断。

我会首先摆脱突变：if (x >= 0) return x - 1 + 2 * sum_down(x - 1); .

您好，我不是在寻找答案。我只需要帮助弄清楚如何解决这些问题，比如我应该采取的方向。但是谢谢大家。 :)

这是上课的吗？你在研究递归关系吗？

【参考方案1】：

递归逻辑：

x = x - 1;
int y = x + sum_down(x);
return y + sum_down(x);

可以简化为：

x = x - 1;
int y = x + sum_down(x) + sum_down(x);
return y;

可以简化为：

int y = (x-1) + sum_down(x-1) + sum_down(x-1);
return y;

可以简化为：

return (x-1) + 2*sum_down(x-1);

以数学形式表示，

f(N) = (N-1) + 2*f(N-1)

当N 为-1 时递归终止。 f(-1) = 1.

因此，

f(0) = -1 + 2*1 = 1
f(1) =  0 + 2*1 = 2
f(2) =  1 + 2*2 = 5

...

f(18) = 17 + 2*f(17) = 524269
f(19) = 18 + 2*524269 = 1048556

【讨论】：

哇，谢谢！当你解释它时，它似乎很容易。你是怎么找到终止条件的？

@Blake_Lead，终止条件在函数的else部分。

【参考方案2】：

你的程序可以这样写（对不起 c#）：

public static void Main()

    int i = 0;
    int j = 0;
    do
    
        i++;
        j = sum_down(i);
        Console.Out.WriteLine("j:" + j);
     while (j < 1000000);
    Console.Out.WriteLine("i:" + i);

static int sum_down(int x)

    if (x >= 0)
    
        return x - 1 + 2 * sum_down(x - 1);
    
    else
    
        return 1;
    

所以在第一次迭代中，你会得到 2，然后是 5，然后是 12...所以你可以忽略 x-1 部分，因为它与乘法相比会保持很小。

所以我们有：

i = 1 => sum_down ~= 4 (real is 2)
i = 2 => sum_down ~= 8 (real is 5)
i = 3 => sum_down ~= 16 (real is 12)
i = 4 => sum_down ~= 32 (real is 27)
i = 5 => sum_down ~= 64 (real is 58)

所以我们可以说 sum_down(x) ~= 2^^x+1。那么这只是 2^^x+1

【讨论】：

很有道理！谢谢！

这是一个很好的答案。感谢您的小数学解释，我找不到这样说的方法。

【参考方案3】：

有点晚了，但要得到一个精确的非递归公式并不难。

如已在其他答案中解释的那样，以数学方式写出来：

f(-1) = 1
f(x) = 2*f(x-1) + x-1 

这个和

一样

f(-1) = 1
f(x+1) = 2*f(x) + x

（只是从 x 和 x-1 切换到 x+1 和 x，两种情况下差异 1）

前几个x和f(x)是：

x:    -1  0  1  2  3  4
f(x): 1   1  2  5  12 27

虽然有许多任意复杂的方法可以将其转换为非递归公式，但使用简单的方法通常有助于写出每两个元素之间的区别：

x:    -1  0  1  2  3  4  
f(x): 1   1  2  5  12 27  
        0  1  3  7  15  

所以，对于某些 x

f(x+1) - f(x) = 2^(x+1) - 1  
f(x+2) - f(x) = (f(x+2) - f(x+1)) + (f(x+1) - f(x)) = 2^(x+2) + 2^(x+1) - 2  
f(x+n) - f(x) = sum[0<=i<n](2^(x+1+i)) - n 

例如。插入x=0，使f(x+n) 变为f(n)：

f(x+n) - f(x) = sum[0<=i<n](2^(x+1+i)) - n  
f(0+n) - f(0) = sum[0<=i<n](2^(0+1+i)) - n  
f(n) - 1 = sum[0<=i<n](2^(i+1)) - n   
f(n) = sum[0<=i<n](2^(i+1)) - n + 1   
f(n) = sum[0<i<=n](2^i) - n + 1   
f(n) = (2^(n+1) - 2) - n + 1
f(n) = 2^(n+1) - n - 1  

不再递归。

【参考方案4】：

这个怎么样：

int x = 0;
while (sum_down(x) <= 1000000)

    x++;

循环递增 x 直到 sum_down(x) 的结果优于 1.000.000。

编辑：结果是 19。

虽然试图理解和简化 sum_down() 函数背后的递归逻辑具有启发性和信息性，但这个 sn-p 往往是合乎逻辑和实用的，因为它不会尝试根据上下文来解决问题，而是在结果。

【讨论】：

@Blake_Lead，你的逻辑有问题。您正在检查x 增加后的结果。

好了，伙计。我删除了我的反对意见和粗鲁的评论。对此感到抱歉....尽管我仍然不会赞成...

嗨，你们怎么知道它是否是 20。我不是在寻找答案，而是在寻找我应该应用于这类问题的方向或逻辑。因为现在我所做的只是反复试验，我知道这不是解决这类问题的最理想方法。非常感谢大家！

它看起来更好...如果您现在删除res 变量，它将更具可读性。 while(sum_down(x)<=1000000)x++;

抱歉先粗鲁了。问题是，一开始这个答案看起来好像没有任何努力和/或思想投入......但是，是的，你完全正确，我的语气不合适......再次抱歉......如果您想进一步改进您的答案，我建议您提到这是解决问题的一种务实的方法，即使重现问题不像这种情况那样容易解决。 IE。这是一种通用方法 - 其他答案不是，一旦复发变得太复杂就会失败......如果你这样做，我会投票赞成......干杯！。

【参考方案5】：

两行 Python 代码回答你的问题：

>>> from itertools import *   # no code but needed for dropwhile() and count()

定义递归函数（见 R Sahu 的回答）

>>> f = lambda x: 1 if x<0 else (x-1) + 2*f(x-1)

然后使用dropwhile() 函数从列表[0, 1, 2, 3, ....] 中删除f(x)<=1000000 的元素，得到f(x) > 1000000 的整数列表。注意：count() 返回 [0, 1, 2, ....] 的无限“列表”

dropwhile() 函数返回一个 Python 生成器，因此我们使用 next() 来获取列表的第一个值：

>>> next(dropwhile(lambda x: f(x)<=1000000, count()))
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