最大流量应用：重新排列矩阵

Posted 2023-02-22

【中文标题】最大流量应用：重新排列矩阵

【英文标题】：Max-flow Application: rearrange matrix

【发布时间】：2013-04-08 02:17:17

【问题描述】：

有 M，一个 n x n 矩阵，每个条目等于 0 或 1。m_ij 表示第 i 行和第 j 列中的条目。对角线条目是其中之一 对某些 i 形成 m_ii。 交换矩阵 M 的 i 和 j 行表示以下动作： 我们将值 m_ik 和 m_jk 交换为 k = 1, 2 ..... n。交换两列 类似地定义。 我们说 M 如果可以交换一些 成对的行和一些成对的列（以任何顺序），这样， 在所有交换之后，M的所有对角线条目都等于1。

我需要找到一个多项式时间算法来确定一个矩阵是否 具有 0-1 个条目的 M 是可重新排列的。

我知道我必须使用 max-flow/min-cut 范例来解决这个问题，但我找不到将这个问题与 max-flow 问题联系起来的方法。

欢迎任何提示！

【参考方案1】：

直接证明矩阵是可重排的当且仅当在 S_n 中存在置换 pi 使得 M_{i, pi(i)} = 1对于每个 i。

这样的排列只是二分图中的完美匹配，每行有一个顶点，每列有一个顶点，当 M_ij = 1 时，第 i 行和第 j 列之间有一条边.

使用 max-flow 在二分图中找到最大匹配非常简单；当最大匹配是完美匹配时，您就有一个可重新排列的矩阵。