作业：我如何计算这个函数的时间复杂度？

Posted 2023-02-22

【中文标题】作业：我如何计算这个函数的时间复杂度？

【英文标题】：Homework: How do i calculate the time complexity of this function?

【发布时间】：2020-03-14 08:44:39

【问题描述】：

void func(int n)
    int i=1, k=n;
    while (i<=k)
        k=k/2;
        i = i*2;
    

我如何计算这个函数的时间复杂度？我知道 i=1, k=n 的赋值需要两个基本步骤，将 k 的值除以 i 的值也需要两个基本步骤，但是因为 i 和 k 的值呈指数增长和下降，时间复杂度是O(log base 4 N)还是O(log base 2 sqrt(N))？

【问题讨论】：

我认为它是 O(log2(n)/2)。如果您忽略 k=k/2，那么它是 log2(n)，因为 i 本质上是 2^m，其中 m 是从 0 开始的迭代次数。

您必须考虑它必须执行多少步骤。您可以放心地忽略分配变量所需的恒定时间。您从 i = 1 和 k = n 开始，并且在每个循环中，您将 i 加倍并使 k 减半，本质上您会发现 x 其中函数 n/(2^x) 和 1 * (2^x) “满足在中间”。对此持保留态度，但我觉得它应该是 O(log4(n)) （我建议你在纸上写几个迭代）

或者换句话说，它是 O(log n)，因为上面的两个 cmets 是用不同的方式编写的。

【参考方案1】：

你的答案是 O(log √n)，在 cmets 中 @Eraklon 说是 O((log₂ n)/2)，@matri70boss 说是 O(log₄ n)。你们三个都是正确的，但最简单的答案是 O(log n)。

log √n =​​ log n^0.5 = 0.5 log n，当我们用大 O 表示法书写时，我们舍弃了常数因子 0.5。 (log₂ n)/2 = (log n)/(2 log 2) by change of base identity，而 1/(2 log 2) 是我们可以丢弃的另一个常数因子。 同样，log₄ n = (log n)/(log 4)，我们可以丢弃常数因子 1/(log 4)。