计算棒材的最高总价，用唯一长度值切割

Posted 2023-02-22

【中文标题】计算棒材的最高总价，用唯一长度值切割

【英文标题】：Calculate the max total price of rods, cut with unique length value

【发布时间】：2017-12-01 17:03:04

【问题描述】：

切棒问题（有一根长度为 n 的棒，其中 n > 0，n 是一个整数，我们想把它切成整数长度的片段，使总价格最大化），p 是价格，n 是棒的长度。我要剪竿，为了得到最高的价格，同时我们还要保证长度是unqiue，也就是说如果我们已经剪了一段length = 3，就不能再剪一段length = 3 .

例如向量 p = 1, 5, 8, 9, 10, 12, 17, 20;给我最高价格：21，长度为：2,3,3。如前所述，不应该有双 3。所以结果应该是 20，长度是 8 而不是 2,3,3

如何修改我的代码，并保持时间复杂度 O(n^2) 谢谢。

int n = 8;
vector<int> p = 1,5,8,9,10,12,17,20;

void cut_rod(vector<int>& p, int n)

    int r[n+1];
    int s[n+1];
    r[0] = 0;

    for (int j = 1; j<=n; j++)
        int q = INT_MIN;
        for (int i = 1; i <= j; i++)
            if(q < p[i-1] + r[j-i])

                q = p[i-1] + r[j-i];
                s[j] = i;
            
        
        r[j] = q;
    
    return r[n];

【问题讨论】：

为什么使用 1 个字母的变量名？

【参考方案1】：

当您存储给定长度的片段时，您可以使用 n + 1 x n + 1 矩阵。通过这种方式，您可以在恒定时间内检查您是否有相同大小的块，并且复制一行需要线性时间，因此总体复杂度仍然为 O(n^2)，但现在您的空间复杂度为 O(n^2)。

我通过下面的 geeksforgeeks 修改了代码。

// A Dynamic Programming solution for Rod cutting problem
#include<stdio.h>
#include<limits.h>
using namespace std;
// A utility function to get the maximum of two integers
int max(int a, int b)  return (a > b)? a : b;

/* Returns the best obtainable price for a rod of length n and
price[] as prices of different pieces */
int cutRod(int price[], int n)

   int pieces[n+1][n+1];    
   int val[n+1];
   val[0] = 0;
   int i, j;

   // Build the table val[] in bottom up manner and return the last entry
   // from the table
   for (i = 1; i<=n; i++)
   
       int max_val = INT_MIN, ind = -1;
       for (j = 1; j <= i; j++) 
           if (max_val < price[j - 1] + val[i-j]) 
               if (pieces[i-j][j] != 1)                    
                   max_val = price[j - 1] + val[i-j];
                   ind = j;
               
           
       
       val[i] = max_val;
       for (int k = 0; k <= n; ++k)  // Copy the pieces
           pieces[i][k] = pieces[i-ind][k];
       
       pieces[i][ind] = 1; // Add the piece of length ind (which is the max j)
   
   return val[n];


/* Driver program to test above functions */
int main()

    int arr[] = 1,5,8,9,10,12,17,20;
    int size = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
    printf("Maximum Obtainable Value is %dn", cutRod(arr, size));
    getchar();
    return 0;

DP 算法保存数组 val 的第 i 个位置，从 0 到 n，长度为 i 的杆的最高价格。我们将长度为 i 的杆的切割保存在 pieces[i] 中，这是一个从 0 到 n 的数组，如果我们在位置 j 有 1，这意味着要获得最大值 val[i] 你必须有一块长度为 j。现在，针对某个长度 i 的 DP 算法对长度 j 进行切割，并计算长度为 j 的价格的价格与已计算的长度为 i-j 的剩余部分的最大价格之和。这个总和将有一些 j 的最大值，这意味着会有一些 j 价格 [j - 1] + val[i-j] 将是最大值（其中 j 不是已经存在的削减）。所以现在对于长度 i，我们有一个长度为 j 的片段和长度为 i - j 的片段，我们保存在片段 [i - j] 中。现在要获取pieces[i]，我们必须复制pieces[i - j]并添加长度为j的部分。

你可以得到这样的片段的长度

for (int i = 0; i <= n; ++i) 
    if (pieces[n][i] == 1)  cout << i << ' ';

【讨论】：

谢谢，那如何输出每张的长度呢？

非常感谢，您能否详细解释一下：cuts[i][k] = cut[i-ind-1][k];

其实pieces是cuts的一个更好的名字。 （pieces[i] 将给定长度的片段保存在长度为 i 的杆中）