为啥A-star算法需要g(n)？

Posted 2023-02-22

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【中文标题】为啥A-star算法需要g(n)？【英文标题】：Why does the A-star algorithm need g(n)?为什么A-star算法需要g(n)？ 【发布时间】：2018-09-20 08:30:14 【问题描述】：

Dijkstra 的算法是f(n) = g(n) A* 是f(n) = g(n) + h(n)。

g(n) 是从起始节点到 n 的路径成本。 h(n) 是一个启发式函数，它估计从 n 到目标的最便宜路径的成本。

需要g(n)吗？没有g(n)就不能找到最短路径吗？

为什么 A* 需要 g(n)？

【问题讨论】：

目的是为了更快地实现目标，因此您以您期望朝着正确方向的方式影响它。但当然，解决方案必须相同。我不知道为什么它更快，你能举个例子吗？对不起，没有。试想一下，算法沿着边界前进，并且知道该边界内的最佳成本。如果边框向各个方向扩展，则填充它需要更长的时间。 【参考方案1】：

我们需要`g(n)`

考虑当h(n) 是0 对于某个给定路径上的所有节点到目标（这是一个完全有效的，即可接受的，启发式的）和所有其他节点非零的情况。

如果我们忽略到目前为止的成本 (g(n))，显然我们将选择这条路径上的节点，无论实际成本是多少，所以我们最终得到的路径可以有成本比其他路径高得多。

               start
       g(n)=0    O --
               5 |   \ 1
h(n)=0,g(n)=5    O    O h(n)=1,g(n)=1
               5 |   / 1
h(n)=0,g(n)=10   O --
               goal

在上面的例子中，我们将选择左边的节点，然后是目标，因为h(n) = 0 代表两者（大于h(n) = 1 代表右边的节点）。这将为我们提供一条成本为10 的路径，其中最便宜的路径涉及选择右侧的节点，成本为2。

这可能是一个极端的例子，但同样的想法也适用于许多其他情况。例如，您还可以在我的示例中为所有值添加 10，并将其作为更大图表的一部分，但最终仍会错误地选择左侧高于右侧。

这里更一般的结论是，您可以在n1 和n2 两个节点之间进行选择，其中h(n1) < h(n2)，因此我们将选择n1，但n2 是最便宜的路径，而不是n1.

如果我们包含g(n)，我们也会选择错误的节点。但是，在这种情况下，对于包含n1 的路径上的某些节点n，f(n) 将大于最便宜的路径（在最坏的情况下，n 将是目标，f(n) 将是真实的通过n1 到达它的成本，这显然比实际最便宜的路径更昂贵），因此也高于f(n2)（因为启发式需要低估成本），所以我们将在到达之前探索n2目标。