线性代数变换矩阵 - 通过乘以矩阵从一个点到另一个点？

Posted 2023-02-22

【中文标题】线性代数变换矩阵 - 通过乘以矩阵从一个点到另一个点？

【英文标题】：Linear Algebra Transformation Matrix - From a point to a different point by multiplying by a matrix?

【发布时间】：2012-10-18 07:05:52

【问题描述】：

我只熟悉线性代数，但我正在尝试在我正在开发的图形应用程序上做一个十字准线。

I have a point: (x,y,z)

我正试图直截了当地说：

(2/(x+y),(5y+z)/(2x+2y),3)

我一直在阅读，可以通过将我的观点乘以“变换矩阵”来获得我想要的观点。但我不知道该怎么做。

有没有人知道如何一步一步地让它到达那个坐标？如果我能看到最终结果，我可以尝试扭转它。

【问题讨论】：

这对我来说似乎不是线性的。

【参考方案1】：

你必须添加一个齐次坐标w; 那么你的方程是形式

[x,y,z,w=1] * [4x4] 矩阵 = [WX,WY,WZ,W], 其中除以W（应该是（x+y））你也许可以达到预期的结果......

所以，你必须找到一个矩阵 M，它代表以下方程：

WX = 2, 
WY = 2.5y+0.5z, 
WZ = 3x+3y, 
W  = x+y

【讨论】：

作为附加说明：在 openGL 着色器中，例如您最终将在顶点着色器中传递向量 gl_Position = [xw,xy,xz,w] = Matrix*vec4(x,y,z,1.0) 并且渲染管道的固定（不可见）部分进行插值，剪裁最终分裂。

【参考方案2】：

您不能直接这样做，因为只有线性变换 (http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map) 可以用矩阵表示，而您的变换不是线性的。你可以做的是重写你的转换如下：

(x,y,z,w)->( 2w , 5y/2+z/2 , 3x+3y )

现在是线性的，其各自的变换由下式给出：

T(x,y,z,w)=[0  0  0  2; 0  5/2  1/2  0; 3  3  0  0]*(x,y,z,w)

其中矩阵由 [] 之间的数字给出，每一行由“;”分隔。如您所见，您现在有一个线性变换，它没有给出您需要的点，但是如果您在 w=1 中评估您的变换，并将结果向量中的每个条目除以 (x+y)，那么您有你想要达到的结果。我的意思是，

(2/(x+y),(5y+z)/(2x+2y),3) = 
[1/(x+y)]*[0  0  0  2; 0  5/2  1/2  0; 3  3  0  0]*(x,y,z,w=1)

我希望这对你有用。

【讨论】：

除数 (x+1) 通常也由同一个矩阵计算

不仅线性变换可以用矩阵表示。其他变换，如仿射或投影变换，也可以用矩阵来描述，但在这些情况下使用笛卡尔坐标系以外的坐标系（例如齐次坐标系）。

我认为你可以使用非线性变换，但你可能需要做一些棘手的事情才能将变换变为线性。因为矩阵是线性变换，线性的东西怎么可能同时是非线性的呢？