如何以递归方式思考？

Posted 2023-02-22

【中文标题】如何以递归方式思考？

【英文标题】：How to think in recursive way?

【发布时间】：2013-07-10 18:45:10

【问题描述】：

为了理解贪婪方法和动态规划等高级算法概念，首先需要精通递归。

我对递归比较陌生。每当提出问题时，首先想到的就是使用迭代的解决方案。尽管我知道递归方法的含义以及它是如何工作的，但以递归的方式思考是非常困难的。

请回答以下问题以提供帮助：

1) 任何迭代方法都可以用递归代替吗？

例如，如何递归打印大小为n的数组中的元素？

for i 0 to n
 Print a[i]

2) 如何递归解决问题？步骤是什么？是否有任何提示可以确定问题可以递归解决？

例如：如果要求打印出一个字符串的所有子字符串

INPUT: CAT
OUTPUT: CAT,CA,A,AT,T

我可以快速想出一个迭代的方式。使用两个循环可以解决问题。

但是如何递归地解决它。如何确定一个问题可以递归地解决。

如果我的第一个问题的答案是肯定的，那么使用两次递归而不是迭代可以解决我的问题吗？

3) 谁能建议我一些材料/资源来彻底理解递归的概念？

【问题讨论】：

你有一袋信和一条街的房子。你是说“对于每一所房子，检查堆顶的信件，然后交付，然后继续下一个房子”还是你说，“将第一组信件交付到街道上的第一所房子，从街道上移走那所房子，并重复，直到街上没有房子”？

并不是每个问题在递归中都有意义——从数组中打印元素就是一个很好的例子，这更适合纯迭代。从 多维 数组中打印元素可能更适合递归方法

【参考方案1】：

有一种思考递归的方法，它可以像迭代一样简单。

在迭代中，我们有一个循环。认为它有 4 个部分：

根据某些“控制”数据决定是继续还是停止，并作为逻辑条件进行评估。

完成工作的主体。有时，主体与下一部分结合在一起。

一种更改“控制”数据的方法。通常通过更换计数器。

再次调用构造（在本例中为循环）的方法。在 c 风格的语言中，这是由 for、while 或 do 语法提供的。

在递归中，我们有一个函数（有时是几个）。它们具有相同的 4 个部分：

根据某些“控制”数据决定是继续还是停止，并作为逻辑条件进行评估。控制数据通常作为参数传递给函数。

完成工作的主体。有时，主体与下一部分结合在一起。

一种更改“控制”数据的方法。通常通过更换计数器。

再次调用构造（在本例中为函数）的一种方式 - 这意味着调用函数（并记住传递更改后的“控制”数据。

这两个结构具有相同的部分也就不足为奇了，因为它们是等价的。

【讨论】：

这是一种有趣的方式来思考这两个概念并将它们联系起来！感谢分享！

【参考方案2】：

是的，主要是。一般来说，递归是为程序员而不是计算机而完成的。有一些迭代方法在某些情况下可能比递归方法运行得更快，但迭代方法可能需要 300 行代码和递归 3 行。还有一些情况很容易弄清楚如何递归地编程，但是非常难以迭代编写，反之亦然。

一般而言，递归解决方案需要考虑函数。如果我们使用像 C++ 这样的东西，我们可以使用处理字符串引用和事物的解决方案，慢慢调整作为参数传递的字符串。但是，“两次递归”结束附近的点被误导了。这里的原则是，我们可以使用一种递归方法，而不是两次迭代。

http://introcs.cs.princeton.edu/java/23recursion/ 这个网站（在 google 搜索中排名靠前）教授了很多关于递归的数学理论，并包含一个常见问题解答，它可能会给你一个更令人满意的答案。

李>

【讨论】：

感谢您的回答。您能解释一下如何递归打印数组中的所有元素吗？

基本上，我们设置一个带有输入参数的函数，然后我们在更少的输入上调用这个相同的函数，在 CAT 的情况下，我们在 CAT 上调用它，然后在 CA 上调用它，然后是 C，然后是 A，然后在 AT 上调用它，然后是 A，然后是 T。按此顺序调用它的原因是因为递归代码就是这样工作的。我们还将通过简单地检查输出数据结构来实现检查以防止 A 被打印两次。

@RahulKurup 我给出了答案。

【参考方案3】：

让我们做一个简单的任务。打印从 1 到 10 的数字。我这里使用 Python2.7。

for i in range(1,11):
    print i

现在让我们尝试做同样的事情，使用递归。

>>> def print_me(n):
    if n > 0:
        print_me(n - 1)
        print n
    else:
        return

>>> print_me(10)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

那我们怎么看呢？

Step1

：想想我的界限。我需要两个。 1 和 10。接下来。

Step2

：打印语句。这就是我们的动机。打印数字。和 我们希望它从 1 到 10。所以我需要先打印 1。

第 3 步：我们首先编写一个函数来完成打印 作为参数传递的数字。让我们想想，主要 任务。

def print_me(n): 打印n

第 4 步：如果 n

def print_me(n): 如果 n > 0： 打印 n 别的： 返回

第 5 步：现在我想将 1 到 10 的数字传递给这个函数，但是 我们不想要 1 到 10 的循环，然后将其传递给我们的函数。我们 希望它以递归方式完成。

什么是递归？ 简单来说，就是递归过程或定义的重复应用。

所以为了让它递归，我们需要调用函数本身。我们希望通过我们的 1 到 10 的范围。

def print_me(n):
    if n > 0:
        print_me(n - 1)
        print n
    else:
        return

总结： 所有递归调用都必须遵守 3 个重要规则：

递归算法，必须有一个基本情况。 一种递归算法，必须改变其状态并移向基数 案子。 递归算法必须以递归方式调用自身。

来源：交互式python

另一个用 Javascript 查找阶乘的程序：

function factorial(n)
    if (n == 1)
        
        return 1;
        
    else 
        return n * factorial(n-1);
        

【参考方案4】：

@Test
public void testStrings() 
   TreeSet<String> finalTree = getSubStringsOf("STACK");
    for(String subString : finalTree)
        System.out.println(subString);
    


public TreeSet<String> getSubStringsOf(String stringIn) 
    TreeSet<String> stringOut = new TreeSet<String>();
    if (stringIn.length() == 1) 
        stringOut.add(stringIn);
        return stringOut;
     else 
        for (int i = 1; i < stringIn.length() ; i++) 
            String stringBefore = stringIn.substring(0, i);
            String stringAfter = stringIn.substring(i);
            stringOut.add(stringBefore);
            stringOut.add(stringAfter);
            stringOut.addAll(getSubStringsOf(stringBefore));
            stringOut.addAll(getSubStringsOf(stringAfter));
        
        return stringOut;
    

我不知道你是否需要解释。每次可能时，您都将字符串分成两部分。因此，Cat 被分成 CA,T 和 C,AT，您将它们添加到子字符串列表中，然后查找这些子字符串的每个子字符串。如果字符串是单个字符，则将单个字符添加到树中。

编辑：这是堆栈的输出：

A AC ACK C CK K S ST STA STAC T TA TAC TACK

再次编辑：如您所见，每次运行方法 subString 时，都会在其中使用两次，除非它是单个字符串。因此复杂度为 O(n²)。对于“STACK”，程序的长度为 0.200 毫秒，“STACKSTACKSTACK”（3 次堆栈）为 2 秒，“STACKSTACKSTACKSTACKSTACK”理论上是 2^10 倍，因此为 2000 秒。

【参考方案5】：

这是我在 Python 中的简单测试：

def p(l, index):
    if index == len(l):
        return
    else:
        print l[index]
        index = index + 1
        p(l, index)

然后调用：

p("123456", 0)

【参考方案6】：

这是在 c++ 中递归打印数组的代码

#include<iostream>
using namespace std;

void print(int arr[],int n)

if(n==0)     //base case. function call hits the base case when n==0

cout<<arr[0]<<" ";
return;

print(arr,n-1);   //function will be called recursively until it reaches the 
                    base case.
cout<<arr[n]<<" ";

              //Driver function
int main()

int arr[]=10,20,30,40,50; //array has been initialized with values 
                                               // 10,20,30,40,50 

int n=sizeof(arr)/sizeof(arr[0]) ; //n stores the size of array,i.e, n=5; 
print(arr,n-1);   //print function has been called with arr[] and (n-1) as 
                    parameters.
return 0;

我希望它在某种程度上有所帮助

【讨论】：

请在您的代码中添加一些解释，以便其他人可以从中学习

请不要鼓励使用#include<bits/stdc++.h>！请参阅：here。

谢谢，Adrian 让我知道，我主要是在做竞技编程时使用它，不过它在比赛中更节省时间和高效。

【参考方案7】：

CAT问题可以这样解决：（Python代码）

s = "CAT"
op = []
def sub(s):
    # terminating condition.
    if (len(s) == 0) : return

    if s not in op : op.append(s)
    
    # slices from begning
    sub(s[1:])
    # slices from the end
    sub(s[:-1])

sub(s)
print(op)

Output : ['CAT', 'AT', 'T', 'A', 'CA', 'C']

【参考方案8】：

我认为我们可以使用递归函数解决任何迭代问题，但它可能不是最有效的方法。这是一个在 Python3 中同时使用“for 循环”和“递归”打印列表中项目的简单示例：

a = [ 1,2,3,4,5] 
#iterative approach using a for loop
for i in nums:
   print(i)

#recursive approach
def printing_list(nums):
    #base case
    if len(nums)==0:
        return
    #recursive
    else:
        print(nums[0])
    return printing_list(nums[1:])

printing_list(nums)

要递归地思考，最好先编写 for 循环，然后尝试在此基础上编写递归解决方案。 记住所有递归方法都需要一个基本案例来停止递归