什么时候需要显式递归？

Posted 2023-02-22

【中文标题】什么时候需要显式递归？

【英文标题】：When is explicit recursion necessary?

【发布时间】：2015-01-13 17:46:55

【问题描述】：

在 Haskell 中，将尽可能多的代码写入高阶函数（如折叠、映射和展开）中是惯用的做法。那么什么样的代码不能用那些高阶函数编写呢？

【问题讨论】：

您是在问什么时候递归是必要的 还是什么时候是惯用的？你的标题是第一个；你的最后一句话是第二句话。

好点。我有点想知道两者，但我将其限制在一个问题上：什么时候真正需要显式递归？我将编辑问题。

高阶函数如map 和fold 是通过递归实现的。如果您使用它们，从语义上讲，您使用的是递归。从语法上讲，您不必使用递归，除了一次 - 定义“规范递归函数” - fix f = let x = f x in x。

但是fix 是在作弊——一个诚实的程序员会说使用fix 的函数是递归的。以下方案有丰富的理论fix；请参阅Functional Programming with Bananas, Lenses, Envelopes and Barbed Wire 了解著名的治疗方法。

@user2407038 从 Haskellian 的角度来看，计算理论只能走到这一步——fix 的多态递归不太可能做得很好。

【参考方案1】：

我认为很多人发现递归数据定义比 Mu/Fix/Nu 类型更容易阅读。这不是绝对必要的，但在那里非常有用。

同样，您将使用递归为此类数据类型编写 Foldable/Unfoldabe 实例，但一旦提供这些实例，以后就不需要显式递归了。

【参考方案2】：

假设我们有一种没有递归或类似的语言。这也意味着没有循环结构。这也意味着我们也有（非递归）类型，因此我们不能形成 Y 组合器并转义。在这种语言中，我们真的很弱，与我们的许多工具分开。

但是我们可以就这种语言提出一个非常好的问题。也就是说，为了让它变得像没有这些限制的语言一样强大，我们必须给予它最小的东西是什么？

原来有两个答案。

我们可以引入递归绑定器，例如 let rec 命令或类似 Haskell 的 let 始终为 let rec。换句话说，一个允许我们定义let x = e in b 的结构，如果x 在e 中是空闲的，那么它被计算为方程x = e 上的一个不动点。

我们可以引入函数fix :: (a -> a) -> a，使fix f一步减为f (fix f)。

从上面的演示中应该很清楚，fix 可以使用递归绑定器来实现。不太清楚的是，递归绑定器可以使用修复从非递归绑定器实现，但我们在这里：

let x = fix $ \this -> e

值this 指的是整个表达式，最终绑定为x，这正是我们想要的。

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那我为什么要特意说出以上所有内容呢？

本质上，我想说的是，只要您愿意在该列表中考虑 fix，就不可能说递归一定是通过像 map 这样的 HOF 组合子实现的。我还想争辩说，由该集合中的组合器实现的任何递归都可以使用递归绑定器“显式地”完成。它们同样强大。

当您单独考虑像 foldr/unfoldr 这样的 HOF 组合子时，有趣的部分就出现了。这些在技术上比fix/recursive binders 稍微弱。优点是，如果您仅根据一组精选的 foldr/unfoldr 类似原则构建编程语言，那么您可以获得非常丰富的亚图灵完整语言，全部或保证终止。