如何反转一个 3x3 矩阵，每个元素都是一个 3x3 矩阵？

Posted 2023-02-21

【中文标题】如何反转一个 3x3 矩阵，每个元素都是一个 3x3 矩阵？

【英文标题】：How to invert a 3x3 matrix with each element being a 3x3 matrix?

【发布时间】：2011-02-04 21:32:59

【问题描述】：

我正在尝试在 C++ 中实现用于数据融合的卡尔曼滤波器。作为项目的一部分，我需要实现一个函数来计算一个 3x3 矩阵的逆矩阵，该矩阵的每个元素本身都是一个 3x3 矩阵。你能帮我解决这个问题吗？我更喜欢需要最少计算量（CPU 效率最高）的解决方案。

还有一个问题，既然卡尔曼滤波器依赖于逆矩阵，那么当矩阵不可逆的情况下应该如何处理呢？

感谢您的帮助。

【问题讨论】：

在编写计算机函数之前，您需要一个数学描述。你有数学算法吗？

是否甚至可以反转矩阵矩阵？我真的很想知道......我看到的唯一可能的事情是反转每个子矩阵，但真的不知道这是否有任何好处。

@Xeo：好点...我想人们可以用 3x3 单位矩阵识别“1”，用 3x3 零矩阵识别“0”，分别用矩阵加法和乘法识别 + 和 *。但是矩阵乘法不是可交换的，所以我不知道代数是否可行。但这让我想知道，在这种情况下，将 Tuan 的结构视为 9x9 实数矩阵，然后将其反转是否有意义。

@Jim：嗯，这取决于 Tuan 需要整个矩阵还是只需要子矩阵......因为我真的想不出你需要矩阵的任何情况的矩阵。如果他需要整个矩阵，那么我想将其视为 9x9 矩阵会起作用。

@aschepler：我正在尝试使用该算法使用行列式 (det) 反转 3x3 矩阵，并将每个子矩阵视为一个数字，但它不起作用。由于每个元素都是一个矩阵，因此行列式结果是一个矩阵而不是一个数字。

【参考方案1】：

你可以做一个“小矩阵”，它是一个“大矩阵”的每个元素，其中包含指向“小矩阵”的指针，因此反转“大矩阵”将花费与反转整数的正常矩阵一样长的时间.

这可能是你能做的最快的算法，但它适合你的实现吗？你的矩阵是如何声明的？

【讨论】：

我的矩阵的实现类似于你的想法，大矩阵包含指向小矩阵的指针。然后我使用算法对它进行逆运算，以反转一个 3x3 实数矩阵，但看起来它不正确。谢谢。

@Tuan Nguyen：所以你没有遇到任何类型的运行时/编译时错误？调试器说什么？

不，程序编译并运行良好。然而，在再次阅读卡尔曼滤波器文档时，我意识到小的 3x3 矩阵在更大的矩阵中被视为“块”。所以总的来说，大矩阵只是像上面建议的 Jim 和 Xeo 那样的常规 9x9 矩阵。