分解旋转矩阵

Posted 2023-02-21

【中文标题】分解旋转矩阵

【英文标题】：Decomposing a rotation matrix

【发布时间】：2011-01-09 18:44:07

【问题描述】：

我有一个旋转矩阵。如何获得围绕该矩阵中包含的指定轴的旋转？

编辑：

这是一个 3D 矩阵 (4x4)，我想知道矩阵绕预定（未包含）轴旋转多远。我已经可以分解矩阵，但 D3DX 只会将整个矩阵作为围绕一个轴旋转一次，而我需要将矩阵拆分为围绕已知轴的旋转角度，其余部分。

示例代码和简要问题描述：

D3DXMATRIX CameraRotationMatrix;
D3DXVECTOR3 CameraPosition;
//D3DXVECTOR3 CameraRotation;

inline D3DXMATRIX GetRotationMatrix() 
    return CameraRotationMatrix;

inline void TranslateCamera(float x, float y, float z) 
    D3DXVECTOR3 rvec, vec(x, y, z);
#pragma warning(disable : 4238)
    D3DXVec3TransformNormal(&rvec, &vec, &GetRotationMatrix());
#pragma warning(default : 4238)
    CameraPosition += rvec;
    RecomputeVPMatrix();

inline void RotateCamera(float x, float y, float z) 
    D3DXVECTOR3 RotationRequested(x, y, z);
    D3DXVECTOR3 XAxis, YAxis, ZAxis;
    D3DXMATRIX rotationx, rotationy, rotationz;
    XAxis = D3DXVECTOR3(1, 0, 0);
    YAxis = D3DXVECTOR3(0, 1, 0);
    ZAxis = D3DXVECTOR3(0, 0, 1);

#pragma warning(disable : 4238)
    D3DXVec3TransformNormal(&XAxis, &XAxis, &GetRotationMatrix());
    D3DXVec3TransformNormal(&YAxis, &YAxis, &GetRotationMatrix());
    D3DXVec3TransformNormal(&ZAxis, &ZAxis, &GetRotationMatrix());
#pragma warning(default : 4238)
    D3DXMatrixIdentity(&rotationx);
    D3DXMatrixIdentity(&rotationy);
    D3DXMatrixIdentity(&rotationz);
    D3DXMatrixRotationAxis(&rotationx, &XAxis, RotationRequested.x);
    D3DXMatrixRotationAxis(&rotationy, &YAxis, RotationRequested.y);
    D3DXMatrixRotationAxis(&rotationz, &ZAxis, RotationRequested.z);
    CameraRotationMatrix *= rotationz;
    CameraRotationMatrix *= rotationy;
    CameraRotationMatrix *= rotationx;
    RecomputeVPMatrix();

inline void RecomputeVPMatrix() 
    D3DXMATRIX ProjectionMatrix;
    D3DXMatrixPerspectiveFovLH(
        &ProjectionMatrix,
        FoV,
        (float)D3DDeviceParameters.BackBufferWidth / (float)D3DDeviceParameters.BackBufferHeight,
        FarPlane,
        NearPlane
    );

    D3DXVECTOR3 CamLookAt;
    D3DXVECTOR3 CamUpVec;

#pragma warning(disable : 4238)
    D3DXVec3TransformNormal(&CamLookAt, &D3DXVECTOR3(1, 0, 0), &GetRotationMatrix());
    D3DXVec3TransformNormal(&CamUpVec, &D3DXVECTOR3(0, 1, 0), &GetRotationMatrix());
#pragma warning(default : 4238)

    D3DXMATRIX ViewMatrix;
#pragma warning(disable : 4238)
    D3DXMatrixLookAtLH(&ViewMatrix, &CameraPosition, &(CamLookAt + CameraPosition), &CamUpVec);
#pragma warning(default : 4238)
    ViewProjectionMatrix = ViewMatrix * ProjectionMatrix;
    D3DVIEWPORT9 vp = 
        0,
        0,
        D3DDeviceParameters.BackBufferWidth,
        D3DDeviceParameters.BackBufferHeight,
        0,
        1
    ;
    D3DDev->SetViewport(&vp);

实际上，在调用 RotateCamera 一段时间后，它开始在相对 X 轴上旋转——即使在响应鼠标输入时为该请求传递了常量零，所以我知道在移动鼠标时，相机根本不应该滚动。我尝试发送 0,0,0 个请求并没有看到任何变化（每帧一个，每秒 1500 帧），所以我很确定我没有看到 FP 错误或矩阵累积错误。我尝试编写一个 RotateCameraYZ 函数并从函数中剥离所有 X 轴。我花了几天时间试图找出为什么会这样，并最终决定只是绕过它。

所以我想得到围绕相对x轴的旋转，变换CameraRotation矩阵，然后检查它是否相同，如果不是，添加一个校正矩阵。

仅供参考，我在Wikipedia上看过一些图表，实际上我有一个比较奇怪的轴布局，即Y轴向上，但是X轴向前，Z轴向右，所以Y轴偏航，Z轴俯仰， X 轴滚动。

【问题讨论】：

这对我来说没有多大意义。 2D 还是 3D？矩阵是如何包含轴的？

这是一个3D矩阵（4x4），矩阵不包含轴，我有轴。我想知道矩阵绕这个轴旋转了多远。

@DeadMG 3D 旋转矩阵可以表示为 3x3 矩阵。我在这里仍然没有看到明确定义的问题。如果您提供一些背景知识可能会有所帮助。

@Caspar：不。我想确保在转换之后，它围绕 X 轴的旋转量与转换前完全一样，但对于任何轴，不仅仅是 X。

@Caspar：是的，类似的。

【参考方案1】：

请参阅 Wikipedia。警告：提前计算