大数数组的平衡索引，如何防止溢出？

Posted 2023-02-21

【中文标题】大数数组的平衡索引，如何防止溢出？

【英文标题】：Equilibrium index of an array of large numbers, how to prevent overflow?

【发布时间】：2015-02-04 05:33:02

【问题描述】：

问题陈述： 数组的平衡索引是数组中的索引，使得较低索引处的元素之和等于较高索引处的元素之和。 例如，在 -7, 1, 5, 2, -4, 3, 0 中，3 是一个均衡指数，因为： -7 + 1 + 5 = -4 + 3 + 0

编写一个函数，给定一个整数向量，返回其平衡索引（如果有）。假设向量可能很长。

问题： 我发现的所有解决方案（有效）都是基于这样一个事实，即给定所有元素的总和和一个部分的当前运行总和，我们可以通过扣除剩余部分的元素总和来获得。 我不认为解决方案是正确的，因为如果我们提供带有 MAX_INT 元素的大向量，元素总和将导致溢出。如何解决溢出问题？ 有关建议解决方案的参考，所有这些都无法解决溢出问题 （我只指 C++ 实现，据我所知，在 Java 中存在解决它的 BigInteger 类） http://blog.codility.com/2011/03/solutions-for-task-equi.html 补充材料：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <numeric>
#include <vector>

template <typename T>
std::vector<size_t> equilibrium(T first, T last)

    typedef typename std::iterator_traits<T>::value_type value_t;

    value_t left  = 0;
    value_t right = std::accumulate(first, last, value_t(0));
    std::vector<size_t> result;

    for (size_t index = 0; first != last; ++first, ++index)
    
        right -= *first;
        if (left == right)
        
            result.push_back(index);
        
        left += *first;
    
    return result;


template <typename T>
void print(const T& value)

    std::cout << value << "\n";


int main() 

    const int data[] =  -7, 1, 5, 2, -4, 3, 0 ;

    std::vector<size_t> indices(equilibrium(data, data + 7));

    std::for_each(indices.begin(), indices.end(), print<size_t>);

【问题讨论】：

链接到problem statement

【参考方案1】：

简短的回答是，最终它无法完全治愈/解决，除非您限制输入的数量/数量 - 即使使用 Java 的 BigInt（或 C++ 的等价物，如 gmp、NTL 等）也不行.)

问题很简单：任何计算机的内存都是有限的。我们可以表示的数字总会有一些有限的限制。任意精度的整数类型可以增加对数字的限制，远远大于大多数使用的定期工作，但是无论限制可能是什么，总会有非常大的数字可以' t 被表示（至少在不改变为其他表示的情况下——但如果我们要精确到任意数字的单位位置，那么我们在表示庞大数字方面的聪明程度就会受到明显的限制）。

对于链接问题中给出的条件，C 和 C++ 中的long long 类型就足够了。如果我们想通过 C++ 中的解决方案将限制增加到一些荒谬的大小，这非常简单。尽管它们不是 C++ 实现的必需部分，但有许多可用于 C++ 的任意精度整数库。

我想可能有某种方法来计算这个问题的答案，而不涉及实际对数字求和——但至少乍一看，这个想法似乎不太有希望对我来说。问题的陈述是专门关于计算总和的。虽然您当然可以执行各种诡计来使求和看起来像求和一样看起来，但事实是问题的基本陈述涉及求和，这往往表明不涉及求和的解决方案可能好难找。

【讨论】：

我的观点是：是的，由于精度有限，我们无法计算总和，正如你所提到的，但可能存在我们不计算总和的方法？？？可以尝试使用差异，日志......所以我的问题不是关于无限数字的总和，而是另一种避免使用 sum 的方法

@spin_eight：我在答案中添加了一些关于此的内容。

是的，谢谢你我注意到你的变化。在发布我的问题时，我希望得到比“乍一看可能……”这样的答案更严格的答案。虽然基于 sum 的语句，但问题可能会简化为没有 sum 的问题

@spin_eight：基本上不可能证明不存在这样的方法，所以除非有人设计出一种不涉及对数字求和的方法，否则任何人所能做的最好的事情就是承认他们不存在'不知道这样的事情。

【参考方案2】：

是的，这是可能的。请注意，如果data[0] < data[len - 1]，则data[1] 应属于“左”部分；同样，如果data[0] > data[len-1] 则data[len-2] 属于“正确”部分。这一观察结果可以归纳证明以下算法的正确性：

left_weight = 0; right_weight = 0
left_index = 0; right_index = 0

while left_index < right_index
    if left_weight < right_weight
        left_weight += data[left_index++];
    else
        right_weight += data[--right_index]

仍然存在累积，但通过跟踪不平衡和哪一侧更重的布尔指示符很容易处理：

while left_index < right_index
    if heavier_side == right
        weight = data[left_index++]
    else
        weight = data[--right_index]

    if weight < imbalance
        imbalance = imbalance - weight
    else
        heavier_side = !heavier_side
        imbalance = weight - imbalance

至少对于未签名的data，没有溢出的可能性。签名值可能需要进行一些修改。

【讨论】：

第一部分 left_weight += data[left_index++]; - 可能发生溢出；在第二部分中，您如何找到哪一侧更重？

这是通过比较重量和不平衡来决定的。如果重量越大，不平衡就会向另一侧移动，它会变得更重，否则不平衡就会减少。