使用单调堆栈的直觉

Posted 2023-02-21

【中文标题】使用单调堆栈的直觉

【英文标题】：Intuition behind using a monotonic stack

【发布时间】：2019-09-10 19:23:48

【问题描述】：

我正在解决LeetCode.com上的一个问题：

给定一个整数数组 A，求 min(B) 的总和，其中 B 的范围是 A 的每个（连续）子数组。由于答案可能很大，因此以 10^9 + 7 为模返回答案。 输入：[3,1,2,4]输出：17说明：子数组是 [3], [1], [2], [4], [3,1], [1,2], [2,4], [3,1,2], [1,2,4] , [3,1,2,4]。最小值为 3、1、2、4、1、1、2、1、1、1。总和为 17。

highly upvoted solution 如下：

class Solution 
public:
  int sumSubarrayMins(vector<int>& A) 
    stack<pair<int, int>> in_stk_p, in_stk_n;
    // left is for the distance to previous less element
    // right is for the distance to next less element
    vector<int> left(A.size()), right(A.size());

    //initialize
    for(int i = 0; i < A.size(); i++) left[i] =  i + 1;
    for(int i = 0; i < A.size(); i++) right[i] = A.size() - i;

    for(int i = 0; i < A.size(); i++)
      // for previous less
      while(!in_stk_p.empty() && in_stk_p.top().first > A[i]) in_stk_p.pop();
      left[i] = in_stk_p.empty()? i + 1: i - in_stk_p.top().second;
      in_stk_p.push(A[i],i);

      // for next less
      while(!in_stk_n.empty() && in_stk_n.top().first > A[i])
        auto x = in_stk_n.top();in_stk_n.pop();
        right[x.second] = i - x.second;
      
      in_stk_n.push(A[i], i);
    

    int ans = 0, mod = 1e9 +7;
    for(int i = 0; i < A.size(); i++)
      ans = (ans + A[i]*left[i]*right[i])%mod;
    
    return ans;
  
;

我的问题是：为此使用单调递增堆栈的直觉是什么？它如何帮助计算各种子数组中的最小值？

【问题讨论】：

堆栈不是单调递增的，我可以看到代码中有两次弹出，每个弹出一次。

“单调”堆栈，我认为您只能表示“单调增加”，这是一个矛盾的术语。从它弹出的那一刻，它就会减少。不清楚你在问什么。

@user207421，我认为我的主要问题不是我们应该称它为monotone 堆栈还是monotonically increasing 堆栈——更多的是关于为什么首先使用堆栈。它如何帮助我们实现我们的目标。

【参考方案1】：

将数组可视化为折线图，（局部）最小值为谷值。每个值都与一个 范围 相关，该范围从前一个较小值（如果有）之后延伸到下一个较小值（如果有）之前。 （在考虑包含它的单例子数组时，即使是大于其邻居的值也很重要。）变量 left 和 right 跟踪该范围。

认识到一个值遮蔽每个方向上大于它的每个值，堆栈维护一个先前的、未遮蔽的最小值的列表，用于两个目的：识别一个新的小数字的范围向后延伸多远和（同时）无效最小值的范围向前延伸多远。代码为每个目的使用单独的堆栈，但没有必要：在（外部）循环的每次迭代之后，每个堆栈都有相同的内容。

【讨论】：

好的，现在对我来说更有意义了。另外，ans + A[i]*left[i]*right[i] 的公式是什么？能否请您详细说明一下？

@J.Doe：这就是包含该元素的子数组的数量（至少）：开始它的位置数乘以结束它的数量。

公式ans + A[i]*left[i]*right[i]check the explanation here