计算 p^q（求幂）的有效方法，其中 q 是整数

Posted 2023-02-21

【中文标题】计算 p^q（求幂）的有效方法，其中 q 是整数

【英文标题】：Efficient way to compute p^q (exponentiation), where q is an integer

【发布时间】：2011-08-03 06:48:26

【问题描述】：

计算 p^q 的有效方法是什么，其中 q 是整数？

【参考方案1】：

假设^ 表示求幂并且q 是运行时变量，请使用std::pow(double, int)。

编辑：由于 cmets 对这个答案的完整性：我问了Why was std::pow(double, int) removed from C++11? 关于缺失函数的问题，实际上pow(double, int) 没有在 C++0x 中删除，只是语言发生了变化。但是，由于结果准确性问题，库似乎实际上并未对其进行优化。

即使我会仍然使用pow，直到测量显示我需要对其进行优化。

【讨论】：

并假设 p 可以被强制为双精度。

@downvoter：这个解决方案有什么问题？当需要运行时可变性时，标准库可能具有高度优化的pow 函数。

其实我刚刚检查了我的 C++0x 草稿，std::pow(double,int) 没有定义。 std::pow(double,double) 和 std::pow(float,float) 以及一些更复杂的重载是。我认为这意味着 1）任何提供 std::pow(double,int) 的库都是非标准的，并且 2）如果它们在运行时执行特殊情况的整数值双精度数，那将是巨大的开销。因此，尽管我不是反对者，但我也会对此进行-1。

@Joe Wreschnig 我在 C++98 26.5/6 中发现了它，并假设它们不会删除 0x 中的功能。他们是否在 C++0x 中删除了它（我没有该标准的方便副本）？

@Mark B：我实际上无法在 Google 上快速找到 C++98 PDF，但在我的 C++0x PDF 中，唯一提到原始类型的 pow 是通过 26.8 中的 C99 嵌入，它只定义了 float、float、double、double 和 long double、long double 的 pow。

【参考方案2】：

Exponentiation by squaring 仅使用 O(lg q) 乘法。

template <typename T>
T expt(T p, unsigned q)

    T r(1);

    while (q != 0) 
        if (q % 2 == 1)     // q is odd
            r *= p;
            q--;
        
        p *= p;
        q /= 2;
    

    return r;

这应该适用于任何monoid（T，operator*），其中从1 构造的T 是标识元素。这包括所有数字类型。

将其扩展到signed q 很容易：只需将1 除以上述结果即可得到q 的绝对值（但像往常一样，在计算绝对值时要小心）。

【讨论】：

我 -1d 这个因为它不是一个完整的答案；平方求幂是一个很好的算法，但也有其他问题。

@Joe：OP 要求的是建议，而不是完整的解决方案或正确性证明。

一般来说，我假设提出问题的人想要一个完整的解决方案。很少有人问到一半的答案。

投反对票真的有那么大的伤害吗？三个词的***链接中的 98 个代表真的那么少，你一定会感到不安，或者代表别人感到不安吗？

@Joe Wreschnig：通常的投票标准（通过悬停在投票箭头上显示）是“这个答案有用吗”，而不是“这个答案是否尽可能完整”。另见meta.stackexchange.com/questions/2451/…

【参考方案3】：

我假设 ^ 你的意思是幂函数，而不是按位异或。

任何类型的 p 和任何正积分 q 的有效幂函数的开发是 an entire section, 3.2, in Stepanov's and McJones's book Elements of Programming 的主题。书中的语言不是C++，但很容易翻译成C++。

它涵盖了多项优化，包括通过平方求幂、转换为尾递归然后迭代和累积变量消除，并将优化与类型正则性和关联运算的概念联系起来，以证明它适用于所有此类类型。

【讨论】：

有趣的阅读：books.google.com/…