素数算法的复杂度

Posted 2023-02-19

【中文标题】素数算法的复杂度

【英文标题】：Complexity of prime factor algorithm

【发布时间】：2015-10-09 19:09:14

【问题描述】：

我刚刚研究了如何使用this 算法找到一个数的质因数，该算法基本上是这样工作的：

void printPrimeFactors(N) 

  while N is even
    print 2 as prime factor
    N = N/2

  // At this point N is odd
  for all the ODDS i from 3 to sqrt(N)
    while N is divisible by i
      print i as prime factor
      N = N / i

  if N hasn't been divided by anything (i.e. it's still N)
    N is prime

  

一切都很清楚，但是我不确定如何计算上述程序的 big-O 复杂度。

作为最昂贵的操作（我想），我会说，作为最坏的情况，最多可能有 log(N) 个除法，但我并不完全确定这一点。

【问题讨论】：

我会说可分割的检查是主要因素，最坏的情况是当 N 是素数时。这意味着您执行sqrt(N) 检查，所有这些都返回错误。

好点，现在你让我想到了。 O(sqrt(N)) 似乎比我想象的更合理

@biziclop，这个特定的算法是 O(sqrt(N))。然而，该算法远非最优。例如，在ODDS i 的主循环中，您可以在每次成功迭代时将上限从sqrt(N) 减少到sqrt(N / product of known factors)。我建议在实施之前研究“筛子”和相关算法。

@Michael 你说得对，我认为随着N 的更新，上限也会下降。当然，即使您仔细调整界限，即使您跳过已知的合数（将算法变成基本的 Erathothenes 筛法），该算法仍远未达到最佳状态

【参考方案1】：

您可以像这样继续。首先，我们只对N 非常大时应用程序的行为感兴趣。在这种情况下，我们可以简化很多：如果两个部分具有不同的渐近性能，我们只需要取表现最差的那个。

第一个while 最多可以循环m 次，其中m 是最小整数，因此2^m >= N。因此，在最坏的情况下，它将循环 log₂N 次——这意味着它执行为 O(log N)。请注意，当N 足够大时，日志类型无关紧要。

for 循环运行 O(sqrt N) 次。在规模上，这比日志N 要大得多，所以我们可以删除日志。

最后，我们需要评估循环内的while。由于这个 while 循环只对除数执行，所以它将有一个大 O 等于它们的数量。稍加思考我们可以看到，在最坏的情况下，while 将循环 log₃N 次，因为 3 是可能的最小除数。

因此，while 循环仅被执行 O(log N) 次，但外部 for 被执行 O(sqrt N) 次（并且通常 while 循环不会运行，因为当前数字不会分裂）。

总之，耗时最长的部分是for 循环，这将使算法变为 O(sqrtN)。

【讨论】：

很好的解释。 Small nitpick：除法的次数在O(sqrtN)，但算法的运行时复杂度更差，因为大数的除法> O(1)。