最大二分匹配方法中的错误

Posted 2023-02-19

【中文标题】最大二分匹配方法中的错误

【英文标题】：Error in an approach to Maximum Bipartite matching

【发布时间】：2016-04-30 21:59:55

【问题描述】：

一个有源和汇的二部图如下所示。每条边的容量为 1 个单位： Source : GeeksforGeeks

我正在尝试找到从源到接收器的最大流量。一种方法是使用适用于所有图的最大流量问题的 Ford-Fulkerson 算法。 我找到了一种简单的方法来找到最大流量（太简单了，不正确！），我无法在该方法中找到任何错误。

方法：

c1 = 计算具有非零边数的顶点数，在具有出边的顶点列表中。

c2 = 计算在具有传入边的顶点列表中收敛到它的边数非零的顶点数。

最大流量将是这两个数字中的最小值，即 min(c1,c2)。[因为任何路径都需要一个来自传出顶点列表的顶点，而另一个来自传入顶点列表。]

任何帮助将不胜感激。

【参考方案1】：

考虑一个类似的图表

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（连接组件工作的补丁并​​不能解决问题；将左下角连接到右上角。）

【讨论】：

非常感谢。我正在寻找这个。

这是我在 Stack Overflow 上的第一个问题。不知道这件事。谢谢。

【参考方案2】：

没有确切的答案，但我有一个可行的迭代算法。 对我来说，您显然需要平衡流，以便它分布在可以将其发送到可以接收它的右顶点的左侧顶点之间。 假设您使用包含双向链接的矩阵 A 对您的情况进行建模。然后，您可以假设，如果您的矩阵恰好包含您想要通过边的流量（0 到 1 之间），那么给出此决定的总流量为 b=A*a，其中 a 是一个向量。 如果您从 A 的最大容量开始，将所有边设置为 1，将所有其他边设置为 0，则 b 的某些元素可能大于 1，但您可以减少它们对应的 A 元素，以使它们通过更少的流量。 然后您可以恢复流程并查看您的二分部分的最大接收容量是多少，并使用 a=A'b 进行测试。 同样，您可能拥有大于 1 的 a 元素，这意味着理想流将大于从源到元素的可能容量，并减少 A 流中的这些元素。 使用这种乒乓算法并逐步减少校正，您可以保证收敛到最优矩阵。 给定一个带有一个向量的最终 b=Aa，您的最大流量将是 sum(b)。 看下面的八度代码，我用B作为收敛矩阵，让我知道你的cmets。

A=[0 1 0 1;1 0 0 1;1 1 0 0;0 0 1 0];
B=A;
repeat
  b=B*ones(4,1);
  B=B.*([.8 .8 .8 1]'*ones(1,4));
  a=B'*ones(4,1)
  B=B.*(ones(4,1)*[.9 .9 1 .9]);
until converge
maxflow=sum(b)